§2. Криволинейные интегралы второго типа
§2. Криволинейные интегралы второго типа
Рассмотрим, как и в параграфе 1, кривую
, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось
представляет собой отрезок
.
Пусть точки
дают разбиение кривой
. Рассмотрим их проекции
, лежащие на отрезке
и обозначим
.
Пусть функция
определена на кривой
. Пусть
- точка, лежащая на кривой между
и
. Положим
.
Определение 3. 2. 1. Пусть
. Если
, то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа
.
Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим
.
Интеграл общего вида
определяется, как сумма этих двух интегралов. Он также обладает свойствами линейности и аддитивности.
Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.
Теорема 3. 2. При условиях предыдущей теоремы
.
Теорему оставим без доказательства.
Примечание 1.
a) Если кривая L задана явным уравнением
, где
- непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид:

b) Если L задана уравнением
, то
.
c) Если
- отрезок прямой
, то
для любой функции
, если
- отрезок прямой
, то
для любой функции Q.
Примечание 2.

Пусть
- угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда
. Поэтому
.

Заметим, что при изменении направления обхода угол
изменяется на
. При этом
, и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.
Примечание 3. В случае пространственной кривой L:
, где
- непрерывные на
функции, а f - непрерывна на L, то
.
Аналогично, для непрерывных на L функций P, Q, R имеем
.
Примечание 4. Говорят, что на области
задано векторное поле
, если каждой точке
сопоставлен вектор
. Обозначим
- радиус-вектор точки
и
. Тогда
(скалярное произведение). Поэтому
. Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы
вдоль кривой L.
§3. Формула Грина
Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.
Теорема 3. 3 . Пусть
- криволинейная трапеция:
, где
- непрерывно дифференцируемые на
функции,
- граница области
и направление обхода
выбрано так, что область
остается слева.
Пусть. Тогда.
Знак
означает, что контур интегрирования
замкнутый. Часто используется обозначение
.
► Вычислим двойной интеграл
, используя теорему Фубини:
.
При каждом фиксированном
величина
определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x, y). Поэтому при каждом
применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой
.
Поэтому
.
Разобьем кривую
на 4 участка, обозначенные на рисунке 

Согласно c) из примечания 1 предыдущего параграфа,
. По правилу из a) примечания 1,
.
Поэтому
. ◄
Теорема 3. 4. Пусть
- криволинейная трапеция
, где
- непрерывно дифференцируемые на
функции, граница области
и направление обхода
выбрано так, что область
остается слева.
Пусть
.
Тогда
.
► Доказательство повторяет рассуждения предыдущей теоремы.
. ◄
Следствие 1. Если область
можно представить как в виде криволинейной трапеции
, где
- непрерывно дифференцируемые на
функции, так и в виде трапеции
, где
- непрерывно дифференцируемые на
функции,
– граница области, причем при ее обходе область
остается слева, то
.
Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг
, ограниченный окружностью
, можно задать так:
, а можно и так:
.
Следствие 2. Если область
можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и
- граница
, причем направление обхода выбрано так, что область
остается слева, и
и
удовлетворяют перечисленным выше условиям, т. е
и
, то
Воспользуйтесь поиском по сайту: