§4.Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

►

Ограничимся случаем, когда область разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть  ограничивает , а  ограничивает . Тогда , поскольку  - это часть и кривая , а  - остаток  и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся). ◄

§4. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

Пусть  область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащим в ,  ограничиваемая контуром  область  также целиком содержится в . В дальнейшем предполагаем, что контур представляет собой кусочно-гладкую замкнутую кривую.

Пример односвязной области: круг

Пример неодносвязной обдасти: круг с выколотой точкой. G содержит выколотую точку, а D –нет, следовательно G не входит в D целиком.

Теорема 3. 5. Пусть  - односвязная область, .

Условие, что  выполнено равенство  равносильно тому, что всюду в этой области выполнено равенство .

►

1. Если всюду в  выполнено равенство , то  по формуле Грина .
2. Предположим, что в области  есть точка , в которой . Пусть, для определенности, .

Тогда, ввиду непрерывности функции  существует окрестность точки , в которой значения  больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность  радиуса  и рассмотрим .

По формуле Грина

.

Это противоречит предположению о том, что  должен быть равен 0. ◄

Перейдем к вопросу о независимости интеграла от формы пути интегрирования и рассмотрим два интеграла:

            и                      ,

Вдоль различных путей, соединяющих точки О(0, 0) и А(2, 1).

Если мы рассматриваем отрезок прямой, соединяющей эти точки, то, поскольку уравнение этой прямой имеет вид y=x/2, получаем

,

)=

Если взять эти интегралы вдоль кривой, заданной уравнением , то

Наконец, интегрирую вдоль кривой , получаем

Мы видим, что первый из интегралов меняет свою величину в зависимости от того, какую форму имеет кривая, соединяющая точки О и А. Во всех рассмотренных примерах второй из интегралов имеет одну и ту же величину. Можно было бы рассматривать и другие кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки О и А. Второй из рассматриваемых интегралов был бы всё время равен 4.

Более того, можно доказать ( это будет следовать из дальнейших рассмотрений), что если рассматривать произвольные точки С и D на плоскости и произвольные кусочно-гладкие кривые, соединяющие эти точки, то величины  зависит только от точек C и D и не зависит от того, вдоль какой из кривых, соединяющих эти точки, производиться интегрирование.

Определение 3. 1.  Криволинейный интеграл

не зависит от формы пути в области , если для любых точек  и любых кривых , целиком лежащих в D и соединяющих точки  выполняется равенство

.

Теорема 3. 6. Пусть  - область. Условие независимости  от формы пути в  равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

►

1. Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть  - замкнутый контур в . Выберем на  две произвольные точки  и  и рассмотрим

соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом  состоит из  и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, .  Значит, .

1. Пусть для любого контура  выполняется равенство .

А) В случае, если , соединяющие точки  не имеют других общих

точек, то, как и в предыдущей части,  состоит из кривой  и проходимой в противоположном направлении кривой . Поэтому ,  откуда .

Б) Если  имеют конечное число общих точек, кроме  и , то можно

применить доказанное утверждение пункта 2А) к каждому полученному контуру, интеграл по которому, в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части . По свойству аддитивности интеграла получаем

В) Случай, когда кроме  и  кривые  имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.

Сопоставляя теорему 3. 5 с теоремой 3. 6, получаем следствие.

Следствие. Пусть  - односвязная область.  не зависит в  от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество .