§4.Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования
.
►
Ограничимся случаем, когда область разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда , поскольку - это часть и кривая , а - остаток и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся). ◄
|
§4. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования
Пусть
область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром
, лежащим в
, ограничиваемая контуром
область
также целиком содержится в
. В дальнейшем предполагаем, что контур представляет собой кусочно-гладкую замкнутую кривую.
Пример односвязной области: круг
|
|
Пример неодносвязной обдасти: круг с выколотой точкой. G содержит выколотую точку, а D –нет, следовательно G не входит в D целиком.
Теорема 3. 5. Пусть
- односвязная область,
.
Условие, что
выполнено равенство
равносильно тому, что всюду в этой области выполнено равенство
.
►
- Если всюду в
выполнено равенство
, то
по формуле Грина
. - Предположим, что в области
есть точка
, в которой
. Пусть, для определенности,
.

Тогда, ввиду непрерывности функции существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим .
|
|
По формуле Грина
.
Это противоречит предположению о том, что
должен быть равен 0. ◄
Перейдем к вопросу о независимости интеграла от формы пути интегрирования и рассмотрим два интеграла:
и
,
Вдоль различных путей, соединяющих точки О(0, 0) и А(2, 1).
Если мы рассматриваем отрезок прямой, соединяющей эти точки, то, поскольку уравнение этой прямой имеет вид y=x/2, получаем
,
)= 
Если взять эти интегралы вдоль кривой, заданной уравнением
, то
Наконец, интегрирую вдоль кривой
, получаем


Мы видим, что первый из интегралов меняет свою величину в зависимости от того, какую форму имеет кривая, соединяющая точки О и А. Во всех рассмотренных примерах второй из интегралов имеет одну и ту же величину. Можно было бы рассматривать и другие кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки О и А. Второй из рассматриваемых интегралов был бы всё время равен 4.
Более того, можно доказать ( это будет следовать из дальнейших рассмотрений), что если рассматривать произвольные точки С и D на плоскости и произвольные кусочно-гладкие кривые, соединяющие эти точки, то величины
зависит только от точек C и D и не зависит от того, вдоль какой из кривых, соединяющих эти точки, производиться интегрирование.
Определение 3. 1. Криволинейный интеграл

не зависит от формы пути в области
, если для любых точек
и любых кривых
, целиком лежащих в D и соединяющих точки
выполняется равенство
.
Теорема 3. 6. Пусть
- область. Условие независимости
от формы пути в
равносильно тому, что для любого замкнутого контура
.
►
- Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть
- замкнутый контур в
. Выберем на
две произвольные точки
и
и рассмотрим

| соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию,
.
Значит, .
|
- Пусть для любого контура
выполняется равенство
.
А) В случае, если
, соединяющие точки
не имеют других общих

| точек, то, как и в предыдущей части, состоит из кривой и проходимой в противоположном направлении кривой . Поэтому
,
откуда .
|
Б) Если
имеют конечное число общих точек, кроме
и
, то можно

| применить доказанное утверждение пункта 2А) к каждому полученному контуру, интеграл по которому, в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части . По свойству аддитивности интеграла получаем
|
В) Случай, когда кроме
и
кривые
имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.
Сопоставляя теорему 3. 5 с теоремой 3. 6, получаем следствие.
Следствие. Пусть
- односвязная область.
не зависит в
от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: