Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

§4. Поверхностные интегралы 2-го типа

Замечание 1. Если поверхность задана уравнением , где – непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то

Аналогично, в случае задания поверхности уравнением

при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 4. 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями

где – непрерывно дифференцируемые функции на квадрируемом множестве и если функция непрерывна на , то

Теоремы 1 и 2 оставим без доказательства. Вместо этого приведём пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где – граница тела, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам .

Решение. Это тело представляет собой конус:

состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой имеет вид: , всюду, кроме точки выполнены равенства

Поэтому

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат вычисления, поэтому , где – проекция на плоскость , т. е. – круг, координаты точек которого удовлетворяют неравенству .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдём к полярным координатам, (см. §5 главы 1, якобиан преобразования):

Основание задано уравнением , поэтому и

(этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл равен

§4. Поверхностные интегралы 2-го типа

4. 1. Понятие стороны поверхности

Понятие стороны поверхности интуитивно хорошо известно. Мы говорим о верхней и нижней стороне, внутренней и внешней стороне (для замкнутых поверхностей) и т. п. Однако что такое сторона поверхности и у всякой ли поверхности есть стороны – вопрос, требующий изучения.

Как обычно, проще всего обстоит дело с поверхностью, заданной явным уравнением.

В этом случае, очевидно, есть 2 стороны, верхняя и нижняя. Чтобы определить сторону, достаточно установить, какой угол составляет выбранная Вами нормаль к поверхности с осью

. Если

, то это – верхняя сторона поверхности, поэтому ей соответствует единичный вектор нормали

Если , то это – нижняя сторона поверхности и ей соответствует единичный вектор нормали

Пусть – замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающий её край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернёмся с исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)). Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мёбиуса. Он получается так:

рассмотрим прямоугольник и линию , соединяющую середины его сторон.

Склеим точку с точкой , точку с точкой .

Если обходить контур , начиная, например, с точки , то при завершении обхода направление нормали непрерывно перейдёт в противоположное. Это доказывает, что лист Мёбиуса не является двусторонней поверхностью.

В дальнейшем мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

4. 2. Поверхностные интегралы 2-го типа

Пусть — двусторонняя поверхность. Вначале считаем, что она задана уравнением , где — квадрируемое множество на плоскости . Как обычно, считаем, что — непрерывные на функции, и выберем верхнюю нормаль к поверхности .

Разобьем область на квадрируемые участки и выберем точки произвольным образом. Пусть функция определена на поверхности .

Рассмотрим интегральную сумму

Если ,

то число называется поверхностным интегралом 2-го типа от функции по внешней стороне поверхности и обозначается так: .

( Иногда используется обозначение . )

Если выбрана нижняя сторона поверхности , то все величины в интегральной сумме заменяем на . Это означает, что поверхностный интеграл II типа (II рода) по нижней стороне поверхности отличается от интеграла по верхней стороне поверхности только знаком.

Подобно тому, как это было сделано в примечании 2 к теореме 3. 2, выразим поверхностный интеграл второго типа через соответствующий интеграл первого типа. Как отмечалось выше,

, откуда , т. е.

, если составляет с осью острый угол,

, если составляет с осью тупой угол.

Поэтому при любом выборе стороны поверхности имеет место равенство:

Таким образом, если — непрерывная функция, то

, если взята верхняя сторона и

, если взята нижняя сторона .

Если задана уравнением , квадрируемой области плоскости и если — непрерывная функция, то определён интеграл , равный и вычисляемый по формуле

если угол, составляемый нормалью к выбранной стороне поверхности с осью острый, и по формуле

если этот угол тупой.

если угол, составляемый нормалью к выбранной стороне поверхности с осью острый, и по формуле

если этот угол тупой.

Если поверхность можно одновременно представить уравнениями рассмотренных выше типов, то определён интеграл общего вида .

Если поверхность есть конечное объединение таких поверхностей и ориентации этих поверхностей согласованы, то интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по составляющим эту поверхность частям.

Согласованность ориентации частей поверхности означает следующее: нормали на отдельных частях этой поверхности выбраны так, что положительные направления обхода их общих границ противоположны друг другу.

В общем случае, если поверхность задана параметрическими уравнениями:

где - квадрируемой области и , то

где, как и выше в §2 этой главы, использованы обозначения

, , ,

(то есть эти величины - координаты нормали, равной ),

а знак “+” или “− ”, стоящий перед ними, выбирается в соответствии с выбором стороны поверхности.

Пример. Приведём примервычисления поверхностного интеграла 2-го типа ,

где – внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что Поверхность состоит из частей и , задаваемых уравнениями (это – верхняя полусфера) и (это уравнение для нижней полусферы ). На внешняя нормаль составляет с осью острый угол, на – тупой.