§4. Поверхностные интегралы 2-го типа
.
Замечание 1. Если поверхность задана уравнением
, где
– непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области
функция, то
.
Аналогично, в случае задания поверхности уравнением

при аналогичных условиях на область
и функцию
.
Теорема 4. 2. Если поверхность
задана параметрическими уравнениями
,
где
– непрерывно дифференцируемые функции на квадрируемом множестве
и если функция
непрерывна на
, то
.
Теоремы 1 и 2 оставим без доказательства. Вместо этого приведём пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.
Задача. Найти
, где
– граница тела, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам
.
Решение. Это тело представляет собой конус:

состоит из боковой поверхности
и основания
. На боковой поверхности, уравнение которой имеет вид:
, всюду, кроме точки
выполнены равенства
и
.
Поэтому
.
Нарушение этой формулы в единственной точке
не повлияет на результат вычисления, поэтому
, где
– проекция
на плоскость
, т. е.
– круг, координаты точек которого удовлетворяют неравенству
.
В интеграле, стоящем в правой части, перейдём к полярным координатам, (см. §5 главы 1,
якобиан преобразования):
.
Основание
задано уравнением
, поэтому
и

(этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).
Итак, весь интеграл равен

§4. Поверхностные интегралы 2-го типа
4. 1. Понятие стороны поверхности
Понятие стороны поверхности интуитивно хорошо известно. Мы говорим о верхней и нижней стороне, внутренней и внешней стороне (для замкнутых поверхностей) и т. п. Однако что такое сторона поверхности и у всякой ли поверхности есть стороны – вопрос, требующий изучения.
Как обычно, проще всего обстоит дело с поверхностью, заданной явным уравнением.
В этом случае, очевидно, есть 2 стороны, верхняя и нижняя. Чтобы определить сторону, достаточно установить, какой угол составляет выбранная Вами нормаль к поверхности с осью

. Если

, то это – верхняя сторона поверхности, поэтому ей соответствует единичный вектор нормали

Если
, то это – нижняя сторона поверхности и ей соответствует единичный вектор нормали

Пусть
– замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающий её край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернёмся с исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)). Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мёбиуса. Он получается так:
рассмотрим прямоугольник
и линию
, соединяющую середины его сторон.
Склеим точку
с точкой
, точку
с точкой
.
Если обходить контур
, начиная, например, с точки
, то при завершении обхода направление нормали непрерывно перейдёт в противоположное. Это доказывает, что лист Мёбиуса не является двусторонней поверхностью.
В дальнейшем мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.
4. 2. Поверхностные интегралы 2-го типа
Пусть
— двусторонняя поверхность. Вначале считаем, что она задана уравнением
, где
— квадрируемое множество на плоскости
. Как обычно, считаем, что
— непрерывные на
функции, и выберем верхнюю нормаль к поверхности
.
Разобьем область
на квадрируемые участки
и выберем точки
произвольным образом. Пусть функция
определена на поверхности
.
Рассмотрим интегральную сумму

Если
,
то число
называется поверхностным интегралом 2-го типа от функции
по внешней стороне поверхности
и обозначается так:
.
( Иногда используется обозначение
. )
Если выбрана нижняя сторона поверхности
, то все величины
в интегральной сумме заменяем на
. Это означает, что поверхностный интеграл II типа (II рода) по нижней стороне поверхности отличается от интеграла по верхней стороне поверхности только знаком.
Подобно тому, как это было сделано в примечании 2 к теореме 3. 2, выразим поверхностный интеграл второго типа через соответствующий интеграл первого типа. Как отмечалось выше,
, откуда
, т. е.
, если
составляет с осью
острый угол,
, если
составляет с осью
тупой угол.
Поэтому при любом выборе стороны поверхности имеет место равенство:
.
Таким образом, если
— непрерывная функция, то
, если взята верхняя сторона
и
, если взята нижняя сторона
.
Если
задана уравнением
,
квадрируемой области плоскости
и если
— непрерывная функция, то определён интеграл
, равный
и вычисляемый по формуле
,
если угол, составляемый нормалью к выбранной стороне поверхности с осью
острый, и по формуле
,
если этот угол тупой.
Если
задана уравнением
,
квадрируемой области плоскости
и если
— непрерывная функция, то определён интеграл
, равный
и вычисляемый по формуле
,
если угол, составляемый нормалью к выбранной стороне поверхности с осью
острый, и по формуле
,
если этот угол тупой.
Если поверхность
можно одновременно представить уравнениями рассмотренных выше типов, то определён интеграл общего вида
.
Если поверхность
есть конечное объединение таких поверхностей и ориентации этих поверхностей согласованы, то интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по составляющим эту поверхность частям.
Согласованность ориентации частей поверхности означает следующее: нормали на отдельных частях этой поверхности выбраны так, что положительные направления обхода их общих границ противоположны друг другу.
В общем случае, если поверхность
задана параметрическими уравнениями:



где
- квадрируемой области и
, то

где, как и выше в §2 этой главы, использованы обозначения
,
,
,
(то есть эти величины - координаты нормали, равной
),
а знак “+” или “− ”, стоящий перед ними, выбирается в соответствии с выбором стороны поверхности.
Пример. Приведём примервычисления поверхностного интеграла 2-го типа
,
где
– внешняя сторона сферы
. Обозначим
. Из соображений симметрии очевидны равенства
, так что
Поверхность
состоит из частей
и
, задаваемых уравнениями
(это
– верхняя полусфера) и
(это уравнение для нижней полусферы
). На
внешняя нормаль составляет с осью
острый угол, на
– тупой.

Поэтому
.
Аналогично, так как на
выполняется равенство
, а нормаль составляет с осью
тупой угол,
.
Значит,
.
Поэтому
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: