§5. Формула Остроградского-Гаусса
§5. Формула Остроградского-Гаусса Теорема 5. 1. Пусть Равносильная формулировка: где ► Предположим, что тело Вычислим тройной интеграл, используя теорему 2. 3:
так как на поверхности
Далее, на боковой поверхности
Итак, суммируя полученные интегралы, приходим к формуле
Если поверхность Далее, если поверхность
Поэтому, если поверхность S удовлетворяет условиям всех трёх случаев, то
Теперь предположим, что тело Тогда:
Каждый из интегралов
преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса:
где взяты внешние стороны поверхностей Поверхности
Тем самым,
и теорема доказана. ◄
§6. Формула Стокса Теорема 6. 1. Пусть
Замечание 1. Равносильная формулировка теоремы:
Замечание 2. В случае плоской кривой Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя: Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причём произведение, например, оператора Подробнее, Что совпадает с подынтегральным выражением в правой части формулы Стокса (см. замечание 1).
► Вычислим, например, Проекция в кривой L на плоскость z=0 имеет параметрические уравнения x = x(t), y=y(t), t Докажем, что Действительно, по теореме 3ю2 имеют место равенства: Правые части равенства совпадают, значит, равны и их левые части, что и утверждалось.
К плоской кривой
где D – ограничиваемая кривой
Итак, Далее, Действительно, нормаль (
Следовательно, вектор ( (Напомним, что вектор нормали к плоскости Ax+By+Cz+D=0 имеет координаты, пропорциональные координатам вектора (A, B, C). ) Таким образом, откуда Значит,
Аналогично получаем равенства
Следовательно,
Формула Стокса доказана. ◄
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|