Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

§5. Формула Остроградского-Гаусса

§5. Формула Остроградского-Гаусса

Теорема 5. 1. Пусть – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть P, Q, R – функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда

Равносильная формулировка:

где − внешняя нормаль к S.

► Предположим, что тело ограничено сверху поверхностью заданной уравнением , снизу поверхностью _, заданной уравнением , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим тройной интеграл, используя теорему 2. 3:

так как на поверхности внешняя нормаль составляет с осью тупой угол и согласно пункту 4. 2 имеет место равенство

Далее, на боковой поверхности выполнено равенство и, следовательно,

Итак, суммируя полученные интегралы, приходим к формуле

Если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей , , и цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси то

Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей , , и цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси то

Поэтому, если поверхность S удовлетворяет условиям всех трёх случаев, то

Теперь предположим, что тело состоит из конечного числа тел , разделённых гладкими поверхностями причём все эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть , S₁ ограничивает V₁, S₂ограничивает V₂, S ограничивает V:

Тогда:

Каждый из интегралов

преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса:

, ,

где взяты внешние стороны поверхностей

Поверхности и имеют общую часть , причём их внешние нормали на поверхности противоположны и, следовательно, интегралы по взаимно сократятся, поэтому

Тем самым,

и теорема доказана. ◄

§6. Формула Стокса

Теорема 6. 1. Пусть – гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т. е. выбрано направление нормали) и – кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причём мы считаем направление обхода кривой положительным ( см. рис). Пусть функции – непрерывно дифференцируемые. Тогда

Замечание 1. Равносильная формулировка теоремы:

Замечание 2. В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций , эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя: .

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причём произведение, например, оператора на функцию R есть и т. п.

Подробнее, = - + = - - + + + -

Что совпадает с подынтегральным выражением в правой части формулы Стокса (см. замечание 1).

► Вычислим, например, . Пусть, для простоты, поверхность S задана явным уравнением z = z(x, y), а кривая L имеет параметрические уравнения x = x(t), y=y(t), z=z(t), t [ T₀, T₁], причем x = x(t), y=y(t), z=z(t) непрерывно дифференцируемые функции.

Проекция в кривой L на плоскость z=0 имеет параметрические уравнения x = x(t), y=y(t), t [ T₀, T₁]. Кривая l ограничивает на плоскости OXY область D, причем изменению параметра от T₀ до T₁соответствует положительное направление обхода кривой l.