 |
Глава 5. Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля
|
|
|
|
Глава 5. Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля
§1. Скалярное и векторное поле
Определение. Скалярное поле на области 
( 
- в этом случае говорят о плоском поле ) представляет собой произвольную функцию 
, определенную на D для точек 
.
Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения 
при заданных значениях 
.
Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т. д.
Определение. Векторное поле 
на области ( ) – это вектор, координаты которого 
( соответственно, 
)являются функциями, определенными на 
.
Примеры этих понятий - силовое поле, поле скоростей и т. п.
§2. Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля
Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную 
плоского поля (т. е. ) по направлению 
. Понятие величины отрезка 
определяется аналогично и для области 
. Напоминаем: величина отрезка 
представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы и 
одинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направления противоположны. Тогда, по определению, 
.
Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами  , то при условии дифференцируемости  в т.  аналогично двумерному случаю можно доказать формулу:
|
, где 
-
градиент скалярного поля в точке .
Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат:
,
т. к. 
- единичный вектор.
Таким образом, 
, причем равенство наступает при условии 
. Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть модуль вектора градиента 
, а направление вектора градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора 
определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия относительно выбора системы координат и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.
|
|
|
Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.
-
-
-
-
-
( 
- дифференцируемая функция)
Пример. Найдем 
, где 
- модуль радиус-вектора 
.
и 
.
По формуле 5 из этого равенства следует: 
Мы получили формулу для вычисления градиента радиальной функции 
.
Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т. е. поверхность, задаваемую уравнением 
. Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от 
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид
.
Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению нормали к поверхности, это - нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.
§3. Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
Пусть - векторное поле, 
- двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона этой поверхности, т. е. зафиксировано направление нормали 
. Назовем 
- потоком вектора через поверхность в указанную сторону.
Этот термин связан со следующей гидродинамической задачей. Пусть - вектор скорости течения жидкости в момент  . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности  за момент времени  . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием и высотой  , т. е. этот объем равен  .
|
Тогда для всей поверхности получим 
. Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.
|
|
|
Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат координатами 
. Назовем дивергенцией скалярное поле 
(при условии, что эти частные производные существуют).
Легко доказать, что:
-
-
.
Здесь - скалярное поле и символ 
обозначает скалярное произведение векторов.
По теореме Остроградского-Гаусса:
,
где 
- непрерывно дифференцируемое векторное поле, - замкнутая поверхность, ограничивающая объем 
и - вектор внешней нормали.
Левая часть формулы имеет вид , т. е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: 
. Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
При сформулированных выше условиях 
.
Понятие 
можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса 
и применим теорему Остроградского-Гаусса:
,
где 
- вышеупомянутый шар, а 
- внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность ):
,
где 
- близкая к точка. При 
, ввиду непрерывности дивергенции, 
и мы можем определить дивергенцию равенством: 
, в правой части которого система координат не фигурирует.
Если считать вектором скорости жидкости, то - это плотность источника.
|
|
|
