§4. Соленоидальное поле. §5. Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса. Приложение 1. Дифференциальные формы
§4. Соленоидальное поле
Определение.
- соленоидальное поле, если
.
Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с
.
Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть
- сечения векторной трубки и
- ее боковая поверхность.
. Рассмотрим внешнюю нормаль к
и применим теорему Остроградского:
, в случае соленоидального поля. Итак,
.
На
, по определению векторной линии, выполняется равенство
, поэтому
или
. Изменяя направление нормали на
на противоположное, получаем, что:
поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

§5. Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса
Пусть
- контур с заданным направлением обхода,
- векторное поле,
- единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл
(смысл – работа силы
вдоль контура
).
Введем систему координат. Пусть
- направляющие косинусы
,
- координаты
.
Тогда

и циркуляция представляет собой интеграл
.
Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля
определим ротор (или вихрь ) этого поля:
.
Легко проверить свойства ротора.
-
-
, где
обозначает векторное произведение этих векторов.
Вспомним теперь теорему Стокса:
,
где
- непрерывно дифференцируемые функции,
- кусочно-гладкая поверхность,
- ее край, причем направление обхода
относительно выбранной стороны
является положительным.
Вспомним, что
, где
- направляющие косинусы к выбранной стороне.
При этом правая часть формулы Стокса принимает вид
или
.
Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так:
.
Дадим определение
без использования системы координат. Пусть
- точка,
- плоскость, в которой лежит окружность
радиуса
с центром в
.

| Тогда, по теореме о среднем, ввиду непрерывности подынтегральной функции
.
Здесь точка близка к . По теореме Стокса,
или
|
.
Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию
на произвольную ось
. Это определяет и сам вектор.
Легко вычислить, что
.
Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле
удовлетворяет условию
, то
- потенциальное, т. е. существует функция
такая, что
.
Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный случай. Полученное там условие
и условие
т. е. равенства
, вполне аналогичны.
Приложение 1.
Дифференциальные формы
Составители: Макаров Ю. Н., Лужина Л, М., Чирский В. Г.
Дифференциальными формами первой, второй и третьей степени, соответственно, от переменных
,
,
называются выражения:
1)
,
2)
,
3)
,
где
– функции от переменных
;
– дифференциалы соответствующих переменных.
Операция внешнего произведения (
) обладает следующими свойствами: если
– произвольные дифференциальные формы, то:
1)
,
2)
,
3) если, кроме того,
и
– формы первой степени, то
; в частности, если
, то
.
Замена переменных в дифференциальных формах
1) Если
и
,
,
- дифференцируемые функции, то
.
2) Если
и
,
,
- дифференцируемые функции, то


.
3) Если
, а
,
,
– дифференцируемые функции, то

.
Внешние дифференциалы от формы
1) Если
, то внешним дифференциалом формы
называют выражение:


.
В частности, если
и
, то
.
2) Если
, то
.
Интегралы от дифференциальных форм
1) Пусть
– гладкая кривая в
, заданная уравнениями:
,
,
,
. Тогда, по определению, положим:
.
Обозначим:
– векторное поле;
– касательный вектор к
. Выбор знака «+» или «–» определяет ориентацию кривой
;
– дифференциал дуги кривой
;
.
Тогда мы можем кратко записать
.
Этот интеграл называют циркуляцией вектора
по ориентированной кривой
.
В частности, если
, то
,
где
– длина кривой
.
2) Пусть
– гладкая поверхность, задаваемая дифференцируемыми функциями
,
,
,
, где
– некоторая ограниченная замкнутая связная область.
Тогда, по определению,
.
Обозначим, как и выше,
;
,
;

– нормальный вектор поверхности
(выбор знака «+» или «–» определяет ориентацию поверхности);
– дифференциал поверхности и
.
Тогда краткая запись интеграла от формы
по поверхности
может быть представлена в виде:
.
Интеграл в правой части этого равенства называется потоком вектора
через заданную сторону поверхности
.
В частности, если
, то
,
где
– площадь поверхности
.
Замечание. Выбор вектора
или
определяет ориентацию поверхности (или кривой
). При изменении ориентации поверхности (или кривой) знак интеграла меняется на противоположный.
Воспользуйтесь поиском по сайту: