 |
Общая формула Стокса. Следствие П.1.1. Теорема Грина. Следствие П.1.2. Теорема Стокса. Следствие П.1.3. Теорема Остроградского-Гаусса.
|
|
|
|
Общая формула Стокса
Будем называть кривую, поверхность или объем в 
одним словом – поверхность – соответственно размерности 1, 2 или 3. Тогда граница 
поверхности размерности 
имеет размерность 
.
Теорема П1. 1. Пусть 
– гладкая ориентированная поверхность размерности 
( 
) и – гладкая граница , ориентация которой согласована с ориентацией поверхности ; 
– дифференциальная форма степени 
. Тогда имеет место формула
.
Замечание. Эта теорема есть многомерное обобщение теоремы Стокса.
Следствие П. 1. 1. Теорема Грина.
.
Следствие П. 1. 2. Теорема Стокса.
Следствие П. 1. 3. Теорема Остроградского-Гаусса.
.
С доказательством общей формулы Стокса можно ознакомиться, например, в книге [3].
Список литературы.
1. Ефимов Н. В. Внешние дифференциальные формы в Евклидовом пространстве. Изд-во МГУ, 1971.
2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1972.
3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. УРСС, 2001.
Приложение 2. Эйлеровы интегралы
1. Гамма-функция
Рассмотрим несобственный интеграл
(1)
как функцию от s и выясним область ее определения. Для этого представим интеграл (1) в виде суммы несобственных интегралов
.
Поскольку 
для всех 
и всех 
, а эталонный интеграл 
сходится при 
; т. е. при 
, и расходится при 
, то, по признакам сравнения несобственных интегралов, интеграл 
сходится при всех и расходится при .
Поскольку 
для любого и 
сходится, то по аналогичному признаку сравнения заключаем, что несобственный интеграл 
сходится при всех .
|
|
|
Окончательно, несобственный интеграл (1) сходится только при ; т. е. областью определения гамма-функции Г(s) служит множество всех положительных чисел.
Интегрируя по частям (подстановка верхнего предела означает переход 
),
. (2)
Формула 
, задает функциональное уравнение для гамма-функции.
Покажем, что при 
, где n-натуральное число, 
; т. е. гамма-функция есть обобщение понятия факториала . При 
.
При , где n-натуральное число большее 1, пользуемся функциональным уравнением
.
Положив 0! =1, получим, что равенство выполняется для всех натуральных чисел.
Известно, что гамма-функция Эйлера бесконечно дифференцируема на 
, выпукла вниз и её минимум приходится в точке интервала 
, поскольку 
.
2. Бета-функция
Эйлером предложен также несобственный интеграл
(3)
как функция параметров 
, которую называют бета-функцией. Представим интеграл (3) в виде суммы двух слагаемых
,
где 
имеет особенность только в точке 
, а 
- только в точке 
.
Поскольку для любого 
функция 
положительна, непрерывна и ограничена на отрезке 
, то существуют постоянные 
, что 
для всех 
и всех 
. Поэтому, как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что интеграл сходится для всех только при 
.
Аналогично, функция 
положительна, непрерывна и ограничена на отрезке 
для любого , и, следовательно, существуют 
, что 
для всех 
и всех .
Поэтому несобственный интеграл сходится для каждого только при 
.
Окончательно, бета-функция 
определена только для и .
Совершая в интеграле (3) замену переменной интегрирования 
, получим
. (4)
Формула (4) указывает на свойство симметричности бета-функции Эйлера.
Интегрируя в (3) по частям и используя разложение 
, получим
откуда
(5)
В силу симметричности функции имеем также
|
|
|
(5’)
Формулы (5) и (5’) называют функциональными уравнениями для бета-функции.
Если 
то согласно (5)
Но
Так что
(6)
Если 
то (6) принимает вид
Так как 
то мы доказали частный случай
замечательной формулы Эйлера
Гамма-функция и бета-функция, как и экспоненциальная функция, играют фундаментальную роль в математике и её приложениях.
Сформулируем без доказательств несколько важных свойств этих функций.
Для любого 
, 
выполняется равенство 
, называемое формулой дополнения. Из этого, в частности, следует, что
и, следовательно, 
.
Бета-функция допускает ещё представление в виде интеграла
Часто используется интеграл (Вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам)
Сведём его к значениям эйлеровых интегралов:
|
|
|
