Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Задача о сравнении средних двух независимых нормальных выборок.





 

Пусть заданы выборки из элементов ; ; и элементов ; .

Цель исследования - сравнить выборки на предмет обнаружения различия в их средних.

Формализуем задачу как задачу МНК.

; ; ; ;

- соответственно объединенные векторы наблюдений, параметров, ошибок.

Оценки находят как:

;

где ; ; .

Проверим гипотезу о равенстве средних исследуемых выборок.

; , ;

Вычислим статистику :

; ;

Отсюда: . Сравнением с критической границей и проверяем справедлива или нет гипотеза : если , то гипотеза : справедлива при уровне значимости .

Рассмотренная задача является основной для дисперсионного анализа. Задача может быть решена и при любом числе выборок.

Примеры: Контроль старения измерительного средства: в первой выборке результаты поверки ИС прошлого года во второй – текущего; наблюдения по спросу на продукт до рекламы и после рекламы; проверка эффективности применения нового лечебного препарата – одной группе больных вводят препарат, другой нет. Во всех случаях интересуются наличием различий в средних сравниваемых выборок.

 

Задача взвешивания.

 

Имеется две группы однородных предметов, необходимо найти средний вес предметов в каждой группе и сравнить их. Под взвешиванием можно понимать как собственно взвешивание, так и процедуры определения других характеристик предмета. Оказывается, что взвешивание по отдельности предметов и вычисление затем средних весов в каждой группе не лучшая стратегия в организации наблюдений.

Рассмотрим вариант определения средних весов однотипных предметов двух различных групп и их сравнения на основе МНК. Предметы каждой группы одинаковы; допустимый производственный разброс весов предметов в обеих группах одинаков и характеризуется дисперсией .

Вес предмета первой группы есть: , второй - ; и - средние веса предметов первой и второй группы, - производственный разброс. Есть основание считать, что весы, на которых производится взвешивание, исправны и не имеют систематических ошибок; ошибки собственно взвешивания пренебрежимо малы по сравнению с рассеянием весов исследуемых предметов; отклонения весов предметов от средних значений - независимые случайные величины.



Далее - показания весов при измерении. Выполним измерений.

При первом измерении на чашке 1 весов - гири, а на чашке 2 предмет 1-ой группы:

; ; 3.7

Во втором измерении: на чашке 1 гири и один элемент из второй группы,

а на чашке 2 - два предмета первой группы:

При третьем измерении на чашке 1 – гири, а на чашке 2 –один предмет первой группы и два предмета второй:

3.8

Применим обобщенный метод наименьших квадратов для нахождения и - на основе уравнений (3.7 – 3.8).

;

; , ;

- матрица плана; составляется из значений регрессоров (коэффициентов при параметрах) для всех измерений.

 

 

В нашем случае:

; ; ;

Оценки средних весов в группах по МНК находят как: ;

Теперь сравним дисперсии оценок средних весов предметов в группах по МНК и обычным способом с отдельным взвешиванием каждого предмета, если значение дисперсии каждого измерения - .

По МНК дисперсионная матрица оценок равна: т.е.

- дисперсия оценки среднего веса 1 группы предметов,

- дисперсия оценки среднего веса предметов 2 группы.

Примерно того же результата можно достичь, выполняя измерения обычным способом, если взвесить по 2 предмета каждой группы и найти среднее в каждой из групп, т.е. выполнить 4 измерения вместо 3, как в рассмотренной выше процедуре взвешивания.

Для некоррелированных случайных величин : .

; ;

Такое превышение числа испытаний может оказаться значительным при дорогостоящих исследованиях. При числе испытаний и симметричном относительно взвешиваемых предметов эксперименте , тогда как при раздельном взвешивании предметов ; СКО оценок соответственно равны: и .

Проверим гипотезу о равенстве средних весов в обеих группах предметов:

: - средние веса этих двух групп предметов равны между собой.

, ,

Выпишем - статистику (3.5) для неравноточных наблюдений; (обобщенный МНК):

3.9

здесь - произведено 3 измерения,

- количество строк в матрице ограничений ,

- два параметра в модели данных МНК и .

Вычислим отдельные сомножители в (3.9):

;

;

;

.

Проверим справедливость гипотезы сравнением с границей критической области , при уровне значимости критерия - . Уровень значимости критерия обычно выбирают из стандартного набора чисел 0.1, 0.05, 0.01, 0.005. При =0.05, , квантиль уровня 0.95 распределения Фишера равен . Если , гипотеза о равенстве средних весов двух групп предметов принимается.

Рассмотренную процедуру взвешивания можно применить и для поверки самих весов, используя эталонные гири; при этом ошибки





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2020 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.