Задача о сравнении средних двух независимых нормальных выборок.
Пусть заданы выборки из Цель исследования - сравнить выборки на предмет обнаружения различия в их средних. Формализуем задачу как задачу МНК.
Оценки находят как:
где Проверим гипотезу
Вычислим статистику
Отсюда: Рассмотренная задача является основной для дисперсионного анализа. Задача может быть решена и при любом числе выборок. Примеры: Контроль старения измерительного средства: в первой выборке результаты поверки ИС прошлого года во второй – текущего; наблюдения по спросу на продукт до рекламы и после рекламы; проверка эффективности применения нового лечебного препарата – одной группе больных вводят препарат, другой нет. Во всех случаях интересуются наличием различий в средних сравниваемых выборок.
Задача взвешивания.
Имеется две группы однородных предметов, необходимо найти средний вес предметов в каждой группе и сравнить их. Под взвешиванием можно понимать как собственно взвешивание, так и процедуры определения других характеристик предмета. Оказывается, что взвешивание по отдельности предметов и вычисление затем средних весов в каждой группе не лучшая стратегия в организации наблюдений. Рассмотрим вариант определения средних весов однотипных предметов двух различных групп и их сравнения на основе МНК. Предметы каждой группы одинаковы; допустимый производственный разброс весов предметов в обеих группах одинаков и характеризуется дисперсией
Вес предмета первой группы есть: Далее При первом измерении на чашке 1 весов - гири, а на чашке 2 предмет 1-ой группы:
Во втором измерении: на чашке 1 гири и один элемент из второй группы, а на чашке 2 - два предмета первой группы:
При третьем измерении на чашке 1 – гири, а на чашке 2 –один предмет первой группы и два предмета второй:
Применим обобщенный метод наименьших квадратов для нахождения
В нашем случае:
Оценки средних весов в группах по МНК находят как: Теперь сравним дисперсии оценок средних весов предметов в группах по МНК и обычным способом с отдельным взвешиванием каждого предмета, если значение дисперсии каждого измерения - По МНК дисперсионная матрица оценок
Примерно того же результата можно достичь, выполняя измерения обычным способом, если взвесить по 2 предмета каждой группы и найти среднее в каждой из групп, т.е. выполнить 4 измерения вместо 3, как в рассмотренной выше процедуре взвешивания. Для некоррелированных случайных величин
Такое превышение числа испытаний может оказаться значительным при дорогостоящих исследованиях. При числе испытаний
Проверим гипотезу о равенстве средних весов в обеих группах предметов:
Выпишем
здесь
Вычислим отдельные сомножители в (3.9):
Проверим справедливость гипотезы Рассмотренную процедуру взвешивания можно применить и для поверки самих весов, используя эталонные гири; при этом ошибки
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|