Кусочно-полиномиальная аппроксимация.

Иногда полиномиальная аппроксимация оказывается неудовлетворительной даже при использовании ортогональных полиномов вплоть до порядка двадцатой степени. Несогласованность таблицы наблюдений и аппроксимирующих полиномов обнаруживается по отсутствию стабилизации RSS.

Несмотря на то, что с увеличением порядка полинома уменьшается (не возрастает); график остатков может иметь тенденции роста или убывания с изменением , между соседними точками , по которым подбиралась кривая, могут наблюдаться осцилляции.

Такие трудности возникают, как правило, в тех случаях, когда поведение изучаемой функции оказывается существенно различным на разных частях отрезка наблюдений. Например, функция может быстро изменяться в одной области и медленно – в другой.

Одним из приемов действий в таких случаях является деление всего отрезка значений на более мелкие отрезки и подбора на каждом из них разных кривых. Затем подобранные кривые «сшиваются» так, чтобы обеспечить «гладкое» сопряжение отдельных кусков.

Рассмотрим случай, когда область изменения переменной делится на два интервала и . На каждом из этих интервалов раздельно выполняется подгонка таблицы наблюдений полиномами. Пусть на первом интервале - таблица наблюдений хорошо аппроксимируется полиномом , а на втором - полиномом .

Обозначим наблюдения на первом интервале , соответственно - наблюдения на интервале . Тогда раздельная подгонка таблицы наблюдений на первом и втором интервале выполняется решением двух задач МНК:

.

Здесь и - матрицы плана соответствующие виду полинома и точкам наблюдений на отрезках и .

Эти две задачи можно записать как одну, сформировав общую матрицу плана ,

.

Теперь о том как «сшиваются» отдельные куски подогнанной кривой. Для «сшивания» используется правило построения МНК оценок при наличии линейных ограничений [см. _ ].

Если в задаче наложены линейные ограничения на значения параметров вида , то оценка параметров при ограничениях вычисляется как:

,

где - МНК оценка параметров без всяких ограничений на параметры.

Стандартные условия «гладкого» перехода одной кривой в другую является совпадение кривых в точках сопряжения (у нас это одна точка ) по значению и по производным (обычно по первой производной, иногда по первой и по второй производной).

Запишем условие совпадения кривых и по значению в точке

или в матричном виде:

; где ;

Если требуется еще и гладкое сопряжение кривых по первой производной, в матрицу добавляется еще одна строка:

.

Замечание 1. Каждое ограничение «гладкости» сопряжения кусков кривых уменьшает на единицу общее число параметров, используемых для приближения таблицы наблюдений.

Не всегда положение точки , разделяющей область изменения известно заранее. В этом случае положение точки подбирают, используя метод проб и ошибок. Решают серию задач с варьированием положения точки , и выбирают то значение, при котором задачи

; принимает минимальное значение.

Замечание 2. Приведенная процедура кусочно - полиномиального приближения таблиц наблюдений используется при построении МНК-сплайнов порядка . Узлами сплайнов являются точки , разделяющие область на подинтервалы; на каждом подинтервале по таблице наблюдений подбирается полином порядка не выше . Подобранные полиномы сшиваются в точках сопряжения интервалов. Обычно кубический сплайн порядка вполне удовлетворителен для подбора, а свойство непрерывности значений подбираемой кривой и ее производных до 2-го порядка достаточно для большинства практических задач.