 |
Пример 12.11. Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. 2. Критерии проверки и оценка решений задания 13
|
|
|
|
Пример 12. 11
а) Решите уравнение 
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Ответ: а) 
, 
; 
, 
; 
, 
; 
, 
;
Ответ: б) 
; 
; 
.
Комментарий
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 12. 12
а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а) , ; , ; , ; , ;
Ответ: б) ; ; .
Комментарий
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
Оценка эксперта: 2 балла.
2. Критерии проверки и оценка решений задания 13
Задание 13 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. В пункте а нужно доказать геометрический факт, в пункте б найти (вычислить) геометрическую величину.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 3 |
Задача 13 (демонстрационный вариант 2022 г. )
Все рёбра правильной треугольной призмы 
имеют длину 
. Точки 
и 
– середины рёбер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
.
|
|
|
|
Решение. а) Пусть точка 
– середина 
. Тогда
.
Вместе с тем
,
тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр 
к прямой 
. Тогда 
и 
. Следовательно, 
. Поэтому 
– проекция на плоскость 
.
Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
. Следовательно, угол 
– линейный угол искомого угла.
Длина равна половине высоты треугольника 
, то есть 
. Поэтому 
. Следовательно, 
.
Ответ: б) 
.
Задание 1
В правильной треугольной призме сторона 
основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
. Точка – середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка , а основание – сечение данной призмы плоскостью .
Решение.
а) Проведём через точки и прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра  и  в точках  и  соответственно (рис. 1). Тогда трапеция  является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость  . Пусть эта плоскость пересекает прямые ,  и  в точках ,  и  соответственно. Четырёхугольник  – прямоугольник, причём  ,  .
| 
|
Кроме того, 
, 
, откуда 
, 
. Пусть 
– высота трапеции 
(рис. 2), тогда
 .
Поскольку  ,
 ,
то есть прямые  и перпендикулярны.
| 
|
Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .
б) Расстояние от точки до плоскости равно 
, а площадь трапеции равна
.
Значит, искомый объём равен 
.
Ответ: б) 
.
Задание 2
Основанием четырёхугольной пирамиды 
является трапеция 
, причём 
. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости основания, – точка пересечения прямых 
и 
.
|
|
|
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды 
, если 
, а высота пирамиды равна 9.
Решение.
|
а) Заметим, что 
. Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, 
– высота пирамиды. Таким образом, угол 
является линейным углом двугранного угла между плоскостями и . Значит, они перпендикулярны.
б) Поскольку 
, трапеция является равнобедренной. Значит,
;
.
Таким образом, площадь треугольника 
равна 
,
а объём пирамиды равен 
.
Ответ: б) 12.
|
|
|
