 |
Примеры оценивания выполнения задания 13
|
|
|
|
Задание 3
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
. Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой .
Рис. 1
Рис. 2
|
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой BC.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости .
Решение.
а) По условию 
, значит, прямые 
и параллельны. Следовательно, плоскости 
и параллельны (рис. 1).
Поскольку отрезки 
и 
параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .
б) Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки 
и 
– середины рёбер и соответственно. Тогда прямые 
и 
перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость 
перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках 
и 
соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию 
от точки до прямой 
. Высота 
пирамиды лежит в плоскости , откуда
, 
; 
.
Плоскости и 
параллельны, поэтому 
, откуда
.
Ответ: б) 
.
Примеры оценивания выполнения задания 13
Пример 13. 1
В правильной треугольной призме 
сторона 
основания равна 6, а боковое ребро 
равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки и 
соответственно, причём 
. Точка 
– середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой 
и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка , а основание – сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) 
.
Комментарий
Доказательство утверждения в пункте а не обосновано. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.
|
|
|
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 13. 2
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка – середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка , а основание – сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий
Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 13. 3
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка – середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка , а основание – сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий
Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 13. 4
Основанием четырёхугольной пирамиды 
является трапеция 
, причём 
. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости основания, – точка пересечения прямых и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды 
, если 
, а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б) 12.
Комментарий
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 13. 5
Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, – точка пересечения прямых и .
|
|
|
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б) 12.
|
|
|
