 |
Примеры оценивания решений задания 16
|
|
|
|
Задание 1
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основаниям.
Из точки 
на сторону 
опустили перпендикуляр 
. На стороне отмечена точка 
так, что прямые и 
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение к , если 
.
Решение.
а) Поскольку
 ,
около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1).
Значит,
 ,
то есть прямые и параллельны.
| 
|
б) Опустим из точки  перпендикуляр  на прямую (рис. 2). Стороны  и треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны и  , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку
| 
|
коэффициент подобия равен 
. Значит,
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 3 |
Задание 2
В равнобедренном тупоугольном треугольнике 
на продолжение боковой стороны 
опущена высота 
. Из точки 
на сторону 
и основание 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
а) Докажите, что отрезки 
и 
равны.
б) Найдите , если 
, 
.
|
|
|
Решение.
а) Поскольку  , около четырёхугольника  можно описать окружность с диаметром . Получаем:
 ,
поэтому  как хорды, стягивающие равные дуги.
| 
|
б) В прямоугольных треугольниках 
и 
имеем:
.
Поскольку 
, получаем:
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 3 |
Задание 3
В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту 
треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 
. Отрезок 
– диаметр этой окружности.
а) Докажите, что 
.
б) Найдите 
, если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, 
, 
.
Решение.
|
а) Поскольку – диаметр описанной около треугольника окружности, получаем
.
Следовательно, хорды 
и 
стягивают равные дуги, а значит, они равны.
б) Пусть 
– радиус окружности, описанной около треугольника . Имеем:
,
;
.
Следовательно, по теореме синусов
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 3 |
|
|
|
Примеры оценивания решений задания 16
|
|
|
