 |
Примеры оценивания решений задания 17
|
|
|
|
Задание 1
Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 
при условии 
.
Решим уравнение :
; 
; 
, откуда 
, 
или 
.
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие 
.
Рассмотрим условия совпадения корней. При 
имеем 
. При 
имеем 
. При остальных значениях числа 0, 
, 
различны.
При получаем: 
при всех значениях .
При получаем: 
.
Это выражение неотрицательно при 
.
При получаем: 
.
Это выражение неотрицательно при 
.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
; 
; 
.
Ответ: ; 
; .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = –2 и/или a = 2 | |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (–2; 2) множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | |
Получены корни уравнения : , , и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии  ( )
| |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
Задание 2
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
|
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
, то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
|
|
|
2) Если 
, то получаем уравнение
; 
; 
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
, лежащих на прямой 
, поэтому в первом случае получаем дугу 
с концами в точках 
и 
, во втором – дугу 
с концами в тех же точках (см. рисунок).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую 
, которая проходит через точку , и угловой коэффициент которой равен 
.
При 
прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги 
в точке и пересекает дугу 
в двух точках (одна из которых – точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых – точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая пересекает каждую из дуг и в точке и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых – точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых – точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или 
| |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
|
|
|
Задание 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение.
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения 
, для которых выполнено условие 
.
При 
уравнение принимает вид 
и задаёт на плоскости 
луч 
с началом в точке 
. При 
уравнение принимает вид 
и задаёт луч 
с началом в точке . Значит, уравнение имеет два корня при 
, имеет один корень при 
и не имеет корней при 
.
Уравнение 
задаёт параболу 
.
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:
Значит, парабола пересекается с лучом в точках 
и 
.
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:
Значит, парабола пересекается с лучом в точках 
и 
.
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме 
, 
, 
и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при 
; 
; 
; 
; 
.
Ответ: ; ; ; ; .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки
| |
| Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и/или , или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и/или ,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
Примеры оценивания решений задания 17
|
|
|
