 |
Комментарий. Пример 16.8. В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке. Отрезок – диаметр этой
|
|
|
|
Комментарий
В доказательстве утверждения пункта а есть верное название прямого угла – « 
», при этом тут же записано противоречащее условию утверждение «BH – диаметр». Утверждение, записанное во второй строчке – « 
(т. к. они опираются на одну дугу)», – содержит неточность, поскольку точка H не лежит на окружности, а 
(так как они опираются на одну дугу). Решение пункта б отсутствует.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 16. 8
В остроугольном треугольнике 
все стороны различны. Прямая, содержащая высоту 
треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 
. Отрезок 
– диаметр этой окружности.
а) Докажите, что 
.
б) Найдите 
, если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, 
, 
.
Ответ: б) 
.
Комментарий
При выполнении пункта а используется недоказанное утверждение, что 
– трапеция. В решении есть некорректное утверждение: «по свойству трапеции, вписанной в окружность, её стороны равны», при этом рядом записано верное равенство боковых сторон. Решение пункта б отсутствует.
Оценка эксперта: 1 балл.
6. Критерии проверки и оценка решений задания 17
Задание № 17 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.
Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов.
|
|
|
Задача 17 (демонстрационный вариант 2022 г. )
Найдите все положительные значения 
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение.
Если 
, то уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиусом 
, а если 
, то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
и таким же радиусом (см. рисунок).
При положительных значениях уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .
Из точки 
проведём луч 
и обозначим через 
и 
точки его пересечения с окружностью , где лежит между и 
. Так как
, то 
.
При 
или 
окружности и не пересекаются.
При 
окружности и имеют две общие точки.
При 
или 
окружности и касаются.
Из точки проведём луч 
и обозначим через 
и 
точки его пересечения с окружностью , где лежит между и 
. Так как 
, то 
.
При 
или 
окружности и не пересекаются.
При 
окружности и имеют две общие точки.
При 
или 
окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как 
, то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
.
Ответ: 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
|
|
|
|
|
|
