 |
Примеры оценивания решений задания 18
|
|
|
|
Задание 1
В последовательности 
, 
, …, 
, 
, состоящей из целых чисел, 
, 
. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Решение.
а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, 
, 7, 
, …, 233, 
, 235
удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).
б) Поскольку 3, 5 и 25 – нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных – чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.
в) Рассмотрим три члена последовательности: 
, 
, 
.
Поскольку 
, 
, получаем: 
.
В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов. Пусть 
, тогда
; 
,
откуда 
. Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.
Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов: 1, 2, 23, 
, 45, 
, 67, 
, 89, 
, 111, 
, 
, 
, 155, 
, 175, 
, 195, 
, 215, 
, 235.
Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235; б) нет; в) 23.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – пример в п. а; – обоснованное решение п. б; – искомая оценка в п. в; – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
Задание 2
|
|
|
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 
, если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Решение.
а) Если на доске записано 29 зелёных чисел: 3, 6, …, 87 – и одно красное число 21, то их сумма меньше 1395.
б) Пусть на доске ровно одно красное число. Тогда зелёных чисел 29, а их сумма не меньше, чем сумма 29 наименьших чисел, делящихся на 3:
.
Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1067.
в) Пусть на доске написано 
красных чисел и 
зелёных чисел. Тогда сумма красных чисел не меньше
,
а сумма зелёных чисел не меньше
.
Таким образом, 
; 
,
откуда, учитывая, что – целое, получаем 
.
Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, …, 66, 69, 78.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта а; – обоснованное решение пункта б; – искомая оценка в пункте в; – пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
|
|
|
Задание 3
На столе лежит 40 карточек, часть из которых красного цвета, а остальные синего (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано натуральное число. Все числа, написанные на синих карточках, различны. Любое число на красной карточке меньше любого числа на синей карточке. Среднее арифметическое всех чисел на карточках равно 14. Если утроить числа на синих карточках, то среднее арифметическое всех чисел станет равно 39.
а) Может ли на столе быть ровно 10 синих карточек?
б) Может ли на столе быть ровно 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть на столе?
Решение.
а) Если на тридцати красных карточках написано число 2, а на синих карточках написаны числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 437, то условия задачи выполнены.
б) Пусть сумма чисел, написанных на красных карточках, равна 
, а сумма чисел, написанных на синих карточках, равна 
. Тогда
; 
,
откуда 
, 
.
Предположим, что красных карточек 10 штук. Если все числа на красных карточках не превосходят 5, то их сумма не превосходит 
.
Но , значит, есть хотя бы одна карточка, на которой написано число,
не меньшее 6. Так как любое число на синей карточке больше любого числа на красной карточке, то все числа на синих карточках не меньше 7, а их сумма не меньше 
. Но , значит, не может быть ровно 10 красных карточек.
в) Предположим, что синих карточек штук, а наибольшее число, написанное на красной карточке, равно 
. Тогда 
. С другой стороны, так как любое число на синей карточке больше любого числа на красной карточке, все числа на синих карточках не меньше 
, а их сумма не меньше
.
Но , значит,
; 
.
Таким образом, получаем
.
Заметим, что это неравенство не выполняется при 
, поскольку при
и 
.
Но неравенство 
не имеет целых решений, значит, синих карточек не может быть больше 26.
Покажем, что может быть 26 синих карточек. Если на десяти красных карточках написано число 4, на четырёх красных карточках написано число 5, а на синих карточках написаны числа 6, 7, …, 29, 30, 50, то условия задачи выполнены.
Ответ: а) да; б) нет; в) 26.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 4 |
|
|
|
Примеры оценивания решений задания 18
|
|
|
