11.2. Возбудимые среды

Среды, в которых возможно распространение одиночных волн, называются возбудимыми.

Рассмотрим вновь ячейку горения. Предположим, что в ней присутствует ингибитор, т. е. вещество, ухудшающее условия горения. Тогда тепловой эффект горения будет зависеть не только от температуры Т, но и от концентрации ингибитора - c_in (чем больше c_in, тем меньше Q). В этом случае имеем следующую модель процесса горения:

                                 ,                      (11. 15)

и модель среды:

                                     .                                 (11. 16)

Если концентрация ингибитора не меняется в процессе горения, т. е. c_in играет роль внешнего параметра, среда остается бистабильной. При малых значениях c_in и Т > T₁ (см. рис. 11. 4) в среде распространяется волна зажигания; при тех же условиях, если c_in велико, в среде распространяется волна гашения.

Иначе среда реагирует на внешнее воздействие, если ингибитор выделяется в процессе горения, а затем уходит в окружающую среду. Зададим скорость изменения концентрации ингибитора без учета его диффузии в виде

                                        ,                                    (11. 17)

где – характеристическое время релаксации, которое велико по сравнению с временем перехода от холодного состояния к горячему;  - равновесная концентрация ингибитора для данной температуры, монотонно растет с ростом Т.

Уравнение для ингибитора вместе с моделью среды описывает одиночную волну (уединенный бегущий импульс см. рис. 11. 4)?:

Рис. 11. 4. Распространение волны в возбудимой среде: а – изменение температуры в волне; б – изменение концентрации ингибитора в волне.

Действительно, при загорании происходит резкий рост температуры – это фронт импульса, волна загорания. Затем происходит постепенное накопление ингибитора, и температура снижается, пока не опустится до предельного значения, при котором ещё возможно горение: Т = Т₂. - тогда наступает резкий спад температуры, т. е. так называемая волна гашения, и состояние среды возвращается к исходному. Концентрация ингибитора меняется плавно, без скачков, что является следствием большого времени релаксации .

ПРИЛОЖЕНИЕ.  Дополнительные темы: Устойчивость систем с n переменными. Критерии устойчивости. Функция Ляпунова.

Обобщим результаты, полученные для систем с одной и двумя переменными, на системы с произвольным количеством переменных:

                                                      .                         (П. 1)

Так же, как и раньше, определим стационарные значения q_j^(s) из уравнений

                                                        F_j(q₁, q₂,... q_n) = 0.                                      (П. 2)

Далее по установленной схеме придадим каждой из переменных возмущения , подставим их в динамические уравнения, разложим динамические функции в ряд вблизи выбранной особой точки и оставим только линейные члены ряда. Получим систему из n обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в сокращенной матричной форме можно записать в следующем виде:

                                                  ,                                            (П. 3)

где . Решение этой системы имеет вид:

         .           (П. 4)

Для нахождения p₁ – p_n запишем характеристическое уравнение этой системы:

                                                   ,                        (П. 5)

или

                                                                             (П. 6)

Полученное алгебраическое уравнение n–ой степени в некоторых частных случаях (приведенное кубическое, биквадратное и т. д. ) можно решить, найдя значения всех n корней. Однако общие выводы относительно устойчивости системы можно сделать, и не решая данного уравнения, используя общие свойства решений:

- если действительные части всех (! ) корней p_i меньше нуля Re p_i < 0, то отклонения со временем затухают, т. е. соответствующая особая точка (стационарное состояние) устойчива;

- если хотя бы один из корней имеет Re p_i > 0, то все возмущения будут со временем неограниченно возрастать, т. е. особая точка неустойчива;

- если некоторые из корней имеют нулевую действительную часть, то система совершает периодические движения вблизи особой точки с неизменной амплитудой – это маргинальная устойчивость, как аналог не асимптотической устойчивости вблизи центра для систем с двумя переменными (иногда её называют безразличной устойчивостью).