 |
Критерии устойчивости. Функция Ляпунова.
|
|
|
|
Критерии устойчивости. Функция Ляпунова.
Критерии устойчивости и функция Ляпунова используются в тех случаях, когда не удаётся решить характеристическое уравнение. Приведём без доказательства критерий асимптотической устойчивости, который носит название критерия Гурвица. Запишем характеристическое уравнение n-ой степени в следующем виде:
(П. 7)
Если коэффициенты Ci действительны, то все действительные части корней pi отрицательны тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1). С1/С0 > 0, C2/С0 > 0 … Cn/С0 > 0;
2). Все главные миноры Hj квадратной матрицы
т. е. H1 = C1; H2 = C1C2 – C0C3; …, Hn = Cn Hn-1 удовлетворяют неравенствам H1 > 0; H2 > 0; … Hn > 0. Итак, если при исследовании стационарного состояния на устойчивость возникает характеристическое уравнение n-й степени и для него выполняется критерий Гурвица, то стационарное состояние является устойчивым.
При исследовании устойчивости систем по траектории возможен анализ глобальной устойчивости, т. е. устойчивости во всей рассматриваемой области фазового пространства, который проводится с использованием потенциала, и локальной устойчивости, т. е. устойчивости вблизи особых точек. Для неградиентных систем можно провести анализ глобальной устойчивости - это было сделано Ляпуновым, который определил некоторую функцию VL(q), заменяющую потенциал для неградиентных систем, обладающую следующими свойствами. Определение функции Ляпунова VL(q):
1. VL(q) и её первые производные непрерывны в некоторой окрестности 
особой точки (в данном случае она взята в начале координат).
|
|
|
2. VL(0) = 0.
3. Для 
в окрестности .
4. 
- вектор состояния системы, 
и 
), то есть 
.
Введя функцию 
указанным способом, Ляпунов доказал следующую теорему, которая является критерием глобальной устойчивости: «Если в некоторой окрестности особой точки существует функция Ляпунова 
, то особая точка устойчива; асимптотическая устойчивость имеет место в случае 
». Пример функции Ляпунова для двумерной системы приведен на рис. П. 1:
Рис. П. 1. Общий вид функции Ляпунова
Данная поверхность внешне похожа на потенциальную - отличие состоит в то, что при движении системы (шарика) по потенциальной поверхности (аналогу механического потенциала) система скатывается вниз всегда по траектории максимального наклона, а если существует функция Ляпунова, то в соответствии с условием 4. система также движется «вниз», но уже по любой траектории. Если 
, то траектория параллельна плоскости q1 – q2 - это случай не асимптотической, а маргинальной устойчивости. Из критерия Ляпунова вытекает важное следствие: потенциал, если он существует, всегда является функцией Ляпунова.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. – М.: Мир, 2009. – 461 с.
2. Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980. – 404 с.
3. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. – М.: Мир, 1979. – 279 с.
4. Жуховицкий А. А., Шварцман Л. А. Физическая химия. – М.: Металлургия, 2000. – 688 с.
5. Бокштейн Б. С. Диффузия в металлах. – М.: Металлургия, 1978. – 248 с.
6. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Кн. 1. – М.: Мир, 1984. – 350 с.
7. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990. – 272 с.
9. Петелин А. Л. Основы синергетики для металлургов: Курс лекций. – М.: МИСиС, 1993. – 118 с.
|
|
|
