Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Свойства вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Теорема умножения вероятностей




Свойства вероятности

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Определение 1. Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B.

Аналогично, суммой конечного числа событий  называют событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .

Определение 2. Произведением событий A и B называется событие C=AB, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B.

Аналогично, произведением конечного числа событий  называют событие , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

Используем классическое определение вероятности. Пусть в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию A благоприятствуют k элементарных событий, событию Bl элементарных событий, событию A+Bk+l элементарных событий (так как события A и B - несовместимые). Тогда по определению вероятности:

;   ;   .

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий A и  равна единице:

.

Доказательство:

События A и  несовместимы. Применим доказанную теорему:

,

но , так как событие  является достоверным (одно из событий A или  произойдёт). Тогда .

Пример. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру?

A - событие, состоящее в том, что срывают красную астру;

B - событие, состоящее в том, что срывают синюю астру.

;      ;    

Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Два события A и B называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называют зависимыми.

Определение 2. Пусть A и B – зависимые события. Условной вероятностью  события B называют вероятность события B, найденную в предположении, что событие A уже наступило.

Если события A и B независимы, то .

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

                                                 (1)

Доказательство: самостоятельно

Пример. В ящике находятся 2 белых и 2 чёрных шара. Вынули два шара (вынутый в первом испытании шар не возвращается обратно в ящик). Какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

A - событие, состоящее в том, что первый раз вынули белый шар;

B - событие, состоящее в том, что второй раз вынули белый шар, при условии, что в первый раз тоже был вынут белый шар

По теореме 1 получаем: .

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

                                                 (2)

Доказательство: Так как A и B – независимые события, то  и из формулы (1) получается формула (2).

Пример. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин p=0, 7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся два организма. Какова вероятность того, что через 20 мин они будут живы?

Событие A – первый организм жив через 20 мин;

событие B – второй организм жив через 20 мин.

Будем считать, что события A и B независимы. Тогда вероятность события AB, состоящего в том, что оба организма живы, вычисляется по формуле (2):

.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...