 |
Лекция 7: «корреляционный анализ. Регрессионный анализ»
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 7: «КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ»
Корреляционная зависимость.
Определение 1. Две случайные величины X и Y находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из этих величин соответствует определённое распределение вероятностей другой величины.
Определение 2. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y=y (y - определённое возможное значение Y) называют сумму произведений возможных значений величины X на их условные вероятности:
,
где 
- условная вероятность равенства 
при условии, что Y=y.
Для непрерывных величин
,
где 
- плотность вероятности случайной непрерывной величины X при условии Y=y.
Условное математическое ожидание 
есть функция от y: 
, которую называют функцией регрессии величины X на величину Y.
Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины Y и функция регрессии Y на X:
.
Уравнение 
называют уравнением регрессии X на Y (Y на X), а линию на плоскости, соответствующую этому уравнению, называют линией регрессии.
Линия регрессии Y на X (X на Y) показывает, как в среднем зависит Y от X (X от Y).
Коэффициент корреляции.
Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами вводится понятие коэффициента корреляции.
Определение 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то
. (1)
Если же X и Y не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря, 
.
Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин X и Y принять безразмерную величину r, определяемую соотношением
(2)
|
|
|
или более кратко соотношением
, (3)
где
,
и называемую коэффициентом корреляции.
Определение 2. Случайные величины X и Y называют некоррелированными, если r=0, и коррелированными, если 
.
Свойства коэффициента корреляции.
1. Если X и Y независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.
2. 
, при этом, если 
, то между случайными величинами X и Y имеет место функциональная, а именно, линейная зависимость.
3. Как видно из формулы (2), коэффициент корреляции характеризует относительную величину отклонения математического ожидания произведения 
от произведения математических ожиданий 
величин X и Y. Так как это отклонение имеет место только для зависимых величин, то можно сказать, что коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между X и Y.
Линейная корреляция.
Определение. Корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(y) и g(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называются прямыми регрессии.
Обозначим 
, 
, 
, 
.
Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид
, (4)
где коэффициент 
называется коэффициентом регрессии Y на X и вычисляется по формуле:
. (5)
Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид
, (6)
где коэффициент регрессии X на Y равен
. (7)
Уравнения прямых регрессий можно записать в более симметричном виде, если воспользоваться коэффициентом корреляции. С учётом этого коэффициента
, 
, (8)
и поэтому уравнения прямых регрессий принимают вид
, 
.
Из формулы (8) видно, что коэффициенты регрессии имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции r, и связаны соотношением
|
|
|
.
|
|
|
