 |
Лекция 6: «элементы математической статистики»
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 6: «ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Генеральная и выборочная дисперсии.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят такую характеристику, как генеральная дисперсия.
Определение. Генеральной дисперсией 
называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней 
.
Если все значения 
признака генеральной совокупности объёма N различны, то
. (7)
Если же значения признака 
имеют соответственно частоты 
, причём 
, то
. (8)
Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:
| ||||
|
Найти генеральную дисперсию.
,
.
Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется 
.
Дисперсия признака X, рассматриваемого, как случайная величина, равна 
.
Тогда 
, 
.
Величина 
называется средней квадратической ошибкой.
Определение. Выборочной дисперсией 
называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней 
.
Если все значения 
признака выборки объёма n различны, то
. (9)
Если же значения признака имеют соответственно частоты 
, причём 
, то
. (10)
Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
|
| ||||
|
Найти выборочную дисперсию.
;
.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии: 
.
|
|
|
Пример. 
Будем считать значения признака различными.
Выборочную дисперсию, рассматриваемую как случайную величину, будем обозначать 
:
.
Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно 
, т. е. 
.
Оценки параметров распределения.
Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом считают, что генеральная совокупность бесконечна, чтобы переходить к пределу при 
, где n – объём выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. 
является оценкой генеральной средней 
, а – оценкой генеральной дисперсии .
Обозначим через 
оцениваемый параметр, через 
– оценку этого параметра ( составлена из 
). Для того чтобы оценка давала хорошее приближение, она должна быть несмещённой и состоятельной.
Определение. Несмещённой называют оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т. е. 
, в противном случае оценка называется смещённой.
Оценка – несмещённая оценка генеральной средней, т. к. 
.
Оценка – смешённая оценка генеральной дисперсии, т. к. 
.
Наряду с выборочной дисперсией рассматривают исправленную дисперсию 
, которая также является оценкой генеральной дисперсии.
.
Таким образом, оценка 
является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
Для получаем:
.
Таким образом,
. (11)
В качестве приближённого неизвестного параметра берут несмещённые оценки, для того чтобы не сделать систематические ошибки в сторону завышения или занижения.
Определение. Состоятельной называют такую оценку параметра , что для любого наперёд заданного числа 
вероятность 
при стремится к единице; то есть при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра меньше, чем на 
.
|
|
|
Несмещённая оценка будет состоятельной, если её дисперсия стремится к нулю при : 
.
Несмещённые оценки и являются состоятельными. Оценки и на практике не различаются при 
.
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из исправленной дисперсии:
. (12)
Через и S будем обозначать левые части формул (11) и (12), заменяя случайные величины их реализациями , а – выборочной средней .
Если – большие числа, то для облегчения вычислений используют формулу:
,
где C – ложный нуль.
Пример. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их вес 
(в граммах) записан в первой колонке таблицы. Найти и S.
Пусть C=250.
|
| 
| 
|
| -25 -30 -5 -39 -16 -20 -19 | ||
| -72 |
;
;
.
Оценка генеральной средней веса плода равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г.
Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода равна 28 г.
|
|
|
