 |
Дифференциальная функция распределения
|
|
|
|
Дифференциальная функция распределения
Определение. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или её плотностью вероятности) называется функция f(x), равная производной интегральной функции распределения 
.
Так как F(x) – неубывающая функция, то 
.
Свойства плотности вероятности.
1. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (a; b) равна определённому интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от a до b:
. (3)
Доказательство: Так как , то 
(по формуле (2)).
Геометрически вероятность 
равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности 
и отрезками прямых y=0, x=a, x=b.
Следствие. Если f(x) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
. (4)
2. 
. (5)
Доказательство: 
, т. к. 
.
3. 
. (6)
Доказательство: По свойству 2 
, но 
. Получаем .
Пример. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:
.
Требуется найти коэффициент A, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1). По формуле (6):
.
Отсюда 
.
Получаем 
.
По формуле (5):
.
.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
|
|
|
.
Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой M(X)=a, а функция f(x) является её плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение определяется, как и для дискретной величины: 
.
Пример. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.
;
;
.
ЛЕКЦИЯ 4: «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»
Равномерное распределение
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все значения из отрезка [a; b], называется равномерным, если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.
Так как , получаем 
, отсюда 
.
Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X, распределённой равномерно на отрезке [a; b], имеет вид:
Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины с равномерным распределением.
.
Таким образом, 
, как и должно, быть в силу симметрии распределения.
.
Таким образом, 
, тогда 
.
Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке [2; 8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3; 5).
a=2, b=8, 
.
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p, то вероятность его ненаступления равна q=1-p.
|
|
|
Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
.
Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз 
, вычисляется по формуле:
или
(1)
Формула (1) называется формулой Бернулли.
Пример. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдут: 1) три; 2) не менее трёх.
1) m=3, n=4, p=0, 9, q=1-0, 9=0, 1,
;
2) 
, 
;
P (A) =0, 2916+0, 6561=0, 9477.
Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения 
с вероятностями:
.
Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения.
| X | 
| m |
| n | ||
| P | 
| 
|
| 
|
| 
|
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:
, 
, 
.
Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0, 8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
p=0, 8, q=0, 2, n=3, 
, 
, 
.
- вероятность 0 попаданий;
- вероятность одного попадания;
- вероятность двух попаданий;
- вероятность трёх попаданий.
Получаем закон распределения:
| X | ||||
| P | 0, 008 | 0, 096 | 0, 384 | 0, 512 |
|
|
|
