 |
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
|
|
|
|
1. Энтальпия растворения безводной соли, найденная в результате эксперимента, равна 16,13 кДж/моль, а рассчитанная по стандартным значениям энтальпий равна 17,05 кДж/моль. Рассчитайте абсолютную и относительную ошибку измеренной величины.
(Ответ: –0,92 кДж/моль; 5,39%)
2. При титриметрическом определении концентрации уксусной кислоты после адсорбции, были получены следующие объемы щелочи:
| № измерения | |||||
| V, мл | 9,2 | 9,3 | 9,2 | 9,3 | 9,1 |
Рассчитайте абсолютную ошибку результатов измерений, учитывая, что рассчитанное значение объема щелочи равно 9,18 мл.
(Ответ: 0,04 мл)
Округление чисел
В учебно-исследовательских работах студентов, как и в любых научных исследованиях, всегда требуется приводить абсолютные и относительные ошибки измеряемых величин. Однако в условиях расчетных задач курса физической и коллоидной химии практически никогда не приводятся погрешности значений исходных величин. Это связано с тем, что при решении задач основное внимание уделяется пониманию изучаемых явлений, а также применению уравнений для физико-химических расчетов. В этом случае для правильной записи промежуточных и окончательного результатов расчетов сохраняют определенное число значащих цифр.
Значащими цифрами называют все отличные от нуля цифры в десятичном изображении числа и нули, расположенные между ними и в конце числа. Нули, стоящие в конце числа, указывают на точность. Нули, стоящие левее первой отличной от нуля цифры, не являются значащими цифрами. Например, числа 0,00035 и 7,2 имеют по две значащие цифры, число 5,30 имеет три, а число 81,04 – четыре значащие цифры. Нули, записанные в конце целого числа, в одних случаях могут быть значащими, а в других незначащими цифрами. Например, если число 1600 задано с точностью до единиц, то оно имеет четыре значащие цифры, а если – с точностью до сотен, то две. В последнем случае нули не являются значащими цифрами. Для того чтобы по записи числа можно было определить количество значащих цифр, рекомендуется представлять числа в виде произведения двух сомножителей в нормальной форме (запятая поставлена после первой слева значащей цифры). В таком представлении количество значащих цифр числа равно количеству значащих цифр первого сомножителя. Так, число 4,00·105 имеет три значащих цифры.
|
|
|
Результаты измерений и приближенных расчетов всегда записывают так, что последняя значащая цифра результата содержит ошибку, то есть недостоверна.
При решении задач ограничиваются только округлением чисел, получившихся при расчетах, причем так, чтобы только последняя цифра числа содержала ошибку, то есть правильной является запись, при которой последняя цифра приблизительна, а предпоследняя – точна: 23,7 см и 38,623ºС.
Рассмотрим правила округления, которыми следует руководствоваться при арифметических действиях.
Погрешность суммы или разности определяется ошибкой числа, у которого меньше значащих цифр. Например, при сложении чисел 50,1; 2 и 0,55 погрешность определяется ошибкой числа 2, следовательно, сумму чисел 50,1 + 2 + 0,55 = 52,65 следует округлить до 53.
Числа, содержащие степени, преобразуют, приводя показатели степеней слагаемых к наибольшему. Например, при сложении чисел 4·10–5; 3,00·10–2 и 1,5·10–4 их следует представить следующим образом: 0,004·10–2; 3,00·10–2 и 0,015·10–2 . Пользуясь правилом погрешности суммы, получаем
0,004·10–2 + 3,00·10–2 + 0,015·10–2 = 3,02·10–2,
поскольку ошибку суммы определяется значимостью числа 3,00·10–2, имеющего наименьшее число значащих цифр.
Для оценки погрешности произведения или частного пользуются следующим правилом: погрешность произведения или частного определяет сомножитель с наименьшим числом значащих цифр. Например, при перемножении чисел 1,5 и 2,35 произведение должно содержать две значащие цифры, т.е. 1,5·2,35=3,5 (а не 3,525, как это получается при перемножении с помощью калькулятора).
|
|
|
Иногда это правило приводит к ошибочным выводам. Более строгий подход основан на сравнении относительных погрешностей сомножителей и произведения (или частного). Относительная ошибка равна отношению абсолютной ошибки числа к самому числу. Относительная ошибка произведения (или частного) равна сумме относительных ошибок сомножителей. Например, нужно найти частное 98:87,25. Относительные ошибка составляют:
1:98 = 1·10–2 и 0,01:87,25 = 1·10–4.
Следовательно, относительная ошибка частного равна
0,01 + 0,0001 = 1·10–2.
С помощью калькулятора получаем 1,1232…. Абсолютная ошибка частного равна
1,1232…·1·10–2 = 1·10–2,
то есть, ошибочна вторая цифра после запятой и частное следует округлить до 1,12. Заметим, что, если руководствоваться нестрогим правилом, следует оставить лишь две значащие цифры, т.е. округлить частное до 1,1. Однако в большинстве случаев это правило ошибочно.
При возведении числа в степень относительная недостоверность результата увеличивается в число раз, равное степени. Так, при возведении в квадрат она удваивается.
При извлечении корня также необходимо учитывать погрешность подкоренного числа. Относительная ошибка результата извлечения корня вдвое меньше относительной ошибки подкоренного числа, поэтому в некоторых случаях после извлечения корня число значащих цифр увеличивается, например 
так как относительная ошибка числа 1,00 равна 1·10–2, а результата извлечения корня равна 0,005. Следовательно, абсолютная ошибка результата равна 1,00·0,005 = 0,005. Таким образом, неопределенность заключена в третьем знаке после запятой (в четвертой значащей цифре, а не в третьей, как в подкоренном числе).
Эти правила позволяют грубо оценить ошибку получаемой величины и поэтому в исследовательских работах их никогда не применяют, а рассчитывают абсолютные и относительные ошибки, в том числе с применением коэффициента Стьюдента.
Примеры решения задач
При приготовлении буферного раствора были слиты 10,1 мл раствора слабой кислоты, 2,55 мл раствора соли этой кислоты и 40 мл дистиллированной воды. Определите общий объем буферного раствора.
|
|
|
Решение:
Складываем объемы всех растворов:
40 + 10,1 + 2,55 = 52,65 мл.
Точность суммы будет ограничиваться число 40, так как у него вообще отсутствуют знаки после запятой, поэтому округляем полученную сумму до целого числа: V = 53 мл.
|
|
|
