Смысл степени с натуральным,отрицательным,дробным показателем,Правила действия над степенями:

1)Степени с натуральным показателем:

В стране чисел возникли проблемы. Астрономы собрались посчитать размеры видимой части Вселенной. Они утверждали, что для этого необходимо умножить 25 раз число 10 само на себя. Поскольку для этого требовалось очень много места, они требовали снести Дворец алгоритма Евкида, выставку чисел-близнецов и многие другие объекты. Хотя всем хотелось узнать, какая же наша Вселенная, но никому не хотелось жертвовать столь прекласными и ценными сооружениями. Была создана комиссия, которая занялась поисками требуемой свободной площади, но вскоре зашла в тупик.

Неожиданно положение Таблица умножения. Она рассказла свою историю: - Меня придумали для того, чтобы не складывать большое количество одинаковых слагаемых. Ведь теперь никто не пишет 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, теперь записывают 3 х 7. Это очень экономит место. Давайте придумаем что-нибудь похожее для умножения.

И сразу придумали. Число множителей стали записываь маленькой цифрой сзади числа:

Все выражение стали на зывать степенью, количество множителей (маленькую цифру сверху) – показателем степени, а сам множитель – основание степени.

Не прошло и получаса, как торжественно ввели новое действие – возведение в степень, как по стране чисел стали бегать 5⁶, 17⁴ и многие другие. Но только бегать неинтересно, хочется выполнять сложение, умножение, вычитание, то есть вести себя как все порядочные числа. и ту возникли следующие проблемы. После введения действий надо установить правила действий, так, чтобы никому не мешать и никакие законы не нарушать.

Сначала попробовали выполнять сложение, открыли свод законов и ничего не нашли. О вычитании даже думать не стали, а умножение пошло очень легко, ведь всякая степень получается из множителей, значит, если взять одинаковые основания степени, то

Сразу записали в свод законов новое правило:

При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают

С делением возникли проблемы. Всем казалось, что если деление действие обратное уиножению, то приделении надо показатели вычитать, но если , а если .Тогда постановили (под влиянием консервативного меньшинства), что

При делении степеней с одинаковыми основаниями , если m>n, и , если n>m.

Провести проверку нового правил предложили 6⁵ и 6³: , а

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. а полностью правило сформулировать трудно.

 

Разобралися также со степенями с разными основаниями и одинаковыми показателями. На помощь пришли переместительный и сочетательный законы: , потому, что ;

Чтобы умножить степени с одинаковыми показателями надо перемножить основания, а показатель оставить без изменения.

Чтобы разделить степени содинаковыми основаниями надо разделит основания, а показатель оставить без изменения.

;

Оказалось, что можно даже возводить степени в степень.

Наступил всеобщий праздник. Особенно понравилось сокращать дроби, раскладывая их на множители:

Подарок преподнес распределительный закон. Он предложил как складывать одинаковые степени, например, , ,т.е. можно складывать коэффициенты.

А если степени с одинаковыми основаниями, но с разными коэффициентами, то можно общий множитель вынести за скобку:

2)степени с отрицательным показателем:

Все уже привыкли к действиям со степенями с натуральными показателями (их так называют, потомучто показатели – натуральные числа).

И нашлись недовольные, те кто не принял участие в создании новых чисел.Революционно настроенные представители отрицательных чисел выступили с заявлением, что их притесняют, не дают развиваться науке,

- Всем известно, что при вычитании может получаться 0, а также отрицательные числа, - говорили они и организовали движение в поддержку степеней с отрицательным показателе.

- Как же может быть отрицательное количество сомножителей?- удивились натуральные числа.

- Надо определить , это как раз подходит под ваше правило: .

-А степени с отрицательным показателем определить, как (Z_- - отрицательнын целые числа).

Например,

Тогда формула для деления степеней станет просто

- Хорошо, - сказали хранители Свода законов, - тогда докажите, что все правила действий со степенями сохранятся и при введении степеней с отрицательным показателями.

Больше того, отрицательные числа предложили план доказательства всех теорем, о действиях со степенями.

1.В выражении по определению заменить степень с отрицательным показателем на степень с натуральным показателем.

2.Выполнить действия по правилам действий со степенями с натуральными показателями

3.По определению перейти от степеней с натуральными показателя к степеням с отрицательными показателями.

А также привели поясняющие примеры: , записывать можно короче:

Итак, оказалось, что все правила действий сохранились для степеней с отрицательными показателями.

3)степени с дробным показателем:

при извлечении корня из степени делят показатель степени на показатель корня, если такое деление выполнется нацело; например: √ a ⁴ = a ², ³√ x ⁹ = x ³ и т. п. Условимся теперь распространить это правило и на те случаи, когда показатель степени не делится нацело на показатель корня. Например, мы условимся принимать, что

Вообще мы условимся, что выражение означает корень, показатель которого есть знаменатель, а показатель подкоренного числа — числитель дробного показателя (т. е. ⁿ √ a^m).

Условимся еще допускать и отрицательные дробные показатели в том же смысле, в каком мы допустили отрицательные целые показатели; например, условимся, что

Замечание. Дробные показатели были введены в алгебру главным образом голландским инженером Симоном Стевином в начале XVII столетия Позднее, в конце XVII столетия, Оксфордский профессор Джон Валлис ввел в употребление отрицательные показатели.

259. Основное свойство дробного показателя. Величина степени с дробным показателем не изменится, если мы умножим или разделим на одно и то же число (отличное от нуля) числитель и знаменатель дробного показателя. Так:

Действительно, знаменатель дробного показателя означает показатель корня, а числитель его означает показатель подкоренного выражения, а такие показатели, как мы видели можно умножать и делить на одно и то же число.

Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель совершенно так же, как и обыкновенную дробь: например, мы можем сокращать дробный показатель, или приводить несколько дробных показателей к одному знаменателю.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: