Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

и

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

, ,

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

равносильно системе:

.

Перейдем к равносильной системе:

,

Неравеству

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

,

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Ответ:

Понятия предела функции.Теоремы о пределах

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству | x - a | < d имеет место неравенство | f (x)| > M.

lim _{x ® a} =¥

1. Функция ограниченная при x ® a.
2. Функция ограниченная при x ® ¥.
3. Теорема. Если lim _{x ® a} f (x)= b, то функция f (x) ограниченная при x ® a.
4. Бесконечно малые и их свойства. lim _{x ® a} a(x)=0

Теорема. 1. Если f (x)= b +a, где a - б.м. при x ® a, то lim _{x ® a} f (x)= b и обратно, если lim _{x ® a} f (x)= b, то можно записать f (x)= b +a(x).

Теорема. 2. Если lim _{x ® a} a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

1. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x) £ z (x) £ v (x), и lim _{x ® a} u (x)=lim _{x ® a} v (x)= b, то lim _{x ® a} z (x)= b. ("Теорема о двух милиционерах").

1. Первый замечательный предел.

0.5sin(x) < 0.5 x < 0.5tg(x)

lim x ® 0   sin(x) x =1.

1. Второй замечательный предел.

Переменная величина

æ è 1+ n ö ø n

при n ® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

19)Числовая последовательность.Предел числовой последовательности:

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Б)Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x₁,x₂,...x_n
Числа x₁,x₂,...,x_n — называются элементами последовательности, символ x_n — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {x_n}.

Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел. Следовательно любая последовательность является счетным множеством.

Предел последовательности

Окрестностью точки x₀ называется любой интервал, содержащий эту точку.

δ — окрестностью точки x₀ U_δ (x₀) называется интервал длиной 2δ с центром в этой точке.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: