Правила действий со степенями
Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
11)Степенная функция,ее общий вид (уметь строить график и описать свойства степенной функции при n=1; 2,3; -1; -2;1/2;1/3.):
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенная функция - функция вида
, где
- заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида
.
Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба
есть степенная функция от
(длины его ребра):
; период
колебаний математического маятника пропорционален длине маятника
в степени
, а именно
. Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление
и объем
связаны формулой
(для воздуха, например,
). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.
При любом показателе степени
показательная функция
определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если
- натуральное число
, то функция
определена на всей числовой оси, обращается в нуль при
, четная при четном
и нечетная при
нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента
. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем:
(кубическая парабола) и
(парабола четвертой степени). При
степенная функция
является линейной функцией, при
- квадратичной функцией
.

Рис. 1

Рис. 2
Если
- отрицательное целое число
, то степенная функция определяется равенством
. Она определена при всех отличных от нуля
. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции
и
их графики даны на рис. 3 и 4. При
по определению
. Если
, то функция
(обозначается также
) определяется как обратная функция для функции
. При четном
функция определена лишь для
, а при нечетном
- на всей оси. Графики таких функций
и
изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6
Для рационального показателя
(
- несократимая дробь) степенная функция определяется формулой
.
Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9
Степенная функция
Степенная функция – это функция вида y = xn (где x – независимая переменная, n – натуральное число).
Свойства степенной функции различаются в зависимости от того, четным или нечетным является значение n.
Свойства степенной функции y = xn при четном значении n.
Графиком функции является парабола, расположенная в положительной полуплоскости координат (рис.1).
1. Если x = 0, то y = 0.График функции проходит через начало координат.
2. Если x ≠ 0, то y > 0.График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.
4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.
5. Областью значений функции являются неотрицательные числа от 0 до +∞.
|
Свойства степенной функции y = xn при нечетном значении n.
Графиком функции является винтообразная кривая (рис.2).
1. Если x = 0, то y = 0.График функции проходит через начало координат.
2. Если x > 0, то y > 0. Если x < 0, то y < 0.График функции проходит через первую и третью координатные четверти.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Пояснение: возьмем функцию y = x3. Если x = 2, то y = 8. Если x = –2, то y = –8.
4. На всей области определения функция возрастает.
5. Областью значения функции является множество всех действительных чисел.
|
|
12)Показательная функция,ее общий вид,график и свойства:
Функция вида
называется показательной функцией.
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
a = 0
| Выражения вида 0 x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
|
a = 1
| Выражение 1 x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
|
a < 0
| Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.
|
Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций:
и
.
|
|
|
|
График показательной функции
|
y = a x, a > 1
| y = a x, 0< a < 1
|
|
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: