Правила действий со степенями

Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

11)Степенная функция,ее общий вид (уметь строить график и описать свойства степенной функции при n=1; 2,3; -1; -2;1/2;1/3.):

 

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида , где - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба есть степенная функция от (длины его ребра): ; период колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление и объем связаны формулой (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени показательная функция определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если - натуральное число , то функция определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном и нечетная при нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: (кубическая парабола) и (парабола четвертой степени). При степенная функция является линейной функцией, при - квадратичной функцией .

Рис. 1

Рис. 2

Если - отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством . Она определена при всех отличных от нуля . Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции и их графики даны на рис. 3 и 4. При по определению . Если , то функция (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции . При четном функция определена лишь для , а при нечетном - на всей оси. Графики таких функций и изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для рационального показателя ( - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Степенная функция   Степенная функция – это функция вида y = xn (где x – независимая переменная, n – натуральное число). Свойства степенной функции различаются в зависимости от того, четным или нечетным является значение n. Свойства степенной функции y = xn при четном значении n. Графиком функции является парабола, расположенная в положительной полуплоскости координат (рис.1). 1. Если x = 0, то y = 0.График функции проходит через начало координат. 2. Если x ≠ 0, то y > 0.График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8. 4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает. 5. Областью значений функции являются неотрицательные числа от 0 до +∞.   Свойства степенной функции y = xn при нечетном значении n. Графиком функции является винтообразная кривая (рис.2). 1. Если x = 0, то y = 0.График функции проходит через начало координат. 2. Если x > 0, то y > 0. Если x < 0, то y < 0.График функции проходит через первую и третью координатные четверти. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Пояснение: возьмем функцию y = x3. Если x = 2, то y = 8. Если x = –2, то y = –8. 4. На всей области определения функция возрастает. 5. Областью значения функции является множество всех действительных чисел.

 

12)Показательная функция,ее общий вид,график и свойства:

Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

a = 0	Выражения вида 0 x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1	Выражение 1 x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0	Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение a^x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x^y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: и .

График показательной функции
y = a x, a > 1	y = a x, 0< a < 1

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: