Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел.

3) Все кривые пересекаются с осью х -ов в одной и той же точке, отстоящей от начала координат на + l. Это значит, что при всяком основании логарифм единицы есть нуль (а ⁰ = 1).

4) Когда a >1, то части кривых, соответствующие абсциссам, меньшим 1, лежат в угле x0 y', а части кривых, соответствующие абсциссам, большим. 1, расположены в угле х0 у. Это значит, что при основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны. Это вполне соответствует тому свойству показательной функции, что при положительном значении х функция а^х больше 1, а при отрицательном - меньше 1 (если а > 1).
При а< 1 (напр, для кривой y = log_1/2 x) заключения противоположны этим.

5) Логарифм самого основания равен 1; так, на графике у = log₂ x видно, что абсциссе 2 соответствует ордината 1; на других графиках видно то же самое.

6) При основании, большем 1, ветви кривых, расположенные ниже оси x -ов, при уменьшении абсциссы от 1 до 0, приближаются к полуоси 0 у' как угодно близко, никогда, однако, ее не достигая, а ветви тех же кривых, расположенные выше оси x -ов, при возрастании х от 1 до , поднимаются все выше и выше неограниченно.
Это значит, что (при a >1) с возрастанием числа от 0 до 1 логарифм его возрастает от до 0; с возрастанием числа от 1 до логарифм его возрастает от 1 до Из этого между прочим следует, что большему числу соответствует больший логарифм (при основании, меньшем 1 (a <1), заключение было бы обратное).

15)Основные типы показательных уравнений их решения:

Показательные уравнения

Уравнения вида a^{f (x)} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5, π, и т. п.).

Уравнения вида

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t > 0. Получаем уравнение 1-го типа: Ответ.

 

Уравнения вида a^{f (x)} = a^{g (x)}, a > 0, a ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:   Отсюда следует, что то есть x = 25; во втором случае − решений нет. Ответ. 25.

 

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению   Ответ. 1, –1.

 

Уравнения вида a^{f (x)} = b^{g (x)}, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:

 

А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем: Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.

 

Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения a^{f (x)} = b^{g (x)} к уравнению f (x) = g (x) log_a b или, в общем случае, переход от уравнения

F (x) = G (x)

(1)

к уравнению

loga F (x) = logb G (x) (a > 0, a ≠ 0)

(2)

называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x³, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x³ (область определения сузилась). Действительно,

 

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a^{f (x)} = b^{g (x)} эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.

16)основные типы логарифмических уравнений,их решения:

Логарифмические уравнения

Уравнения вида log_a f (x) = b, a > 0, a ≠ 1

Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = a^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a^b – это число.

Уравнения вида

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

· С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

· Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.   а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x > 1 есть x = 3. б) Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения. Ответ. 0, 3, −7.

 

Пример 6

Решите уравнение

Решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.         1) 3x – 4 = 0, − входит в ОДЗ. 2) (x + 1 > 0 в ОДЗ), x = 0 − не входит в ОДЗ. x = 3 − входит в ОДЗ. Ответ. 3,

 

Уравнения вида log_a f (x) = log_a g (x), a > 0, a ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log_a f (x) = log_a g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x = –8, x = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является корнем. Ответ. x = –10.

 

17)Иррациональные уравнения и их решения:

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: