 |
23. Автокорреляция в уравнениях множественной регрессии, признаки ее наличия и последствия, Оценка параметров уравнения множественной регрессии с автокоррелированными остатками,
|
|
|
|
23. Автокорреляция в уравнениях множественной регрессии, признаки ее наличия и последствия, Оценка параметров уравнения множественной регрессии с автокоррелированными остатками,
24. Последствия нарушения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова
Классическая модель линейной регрессии строится на основе предпосылок 1) - 9) (см. п. 3. 1 ), которые на практике часто не выполняются. Например, предположение о том, что регрессоры являются не случайными величинами, в эмпирических исследованиях часто нереалистично. Действительно, регрессоры могут быть стохастическими (случайными) величинами, значения которых не контролируются в эксперименте. Например, если изучается зависимость товарооборота филиалов фирмы от интенсивности потока покупателей, то в соответствующей модели регрессор - интенсивность потока, очевидно, является случайной величиной (см. пример из гл. 1 ). К сожалению, в большинстве случаев нарушение предпосылок классической модели, как правило, приводит к потере желательных статистических свойств оценок, полученных по обычному методу наименьших квадратов (теорема Гаусса-Маркова не выполняется). В этом случае классическая модель служит базой для построения обобщенных моделей регрессии, соответствующих реальным эмпирическим процессам. Методы оценивания параметров таких моделей являются модификациями обычного метода наименьших квадратов и строятся таким образом, чтобы соответствующие оценки обладали желательными статистическими свойствами. Очень важно понимать роль каждой предпосылки классической модели и осознавать, к каким последствиям приводит ее нарушение. Только в этом случае можно квалифицированно применять эконометрические методы и получать обоснованные результаты. Рассмотрим каждую предпосылку с точки зрения ее роли при построении регрессионной модели.
|
|
|
Предпосылки относительно регрессоров и последствия их нарушений
Относительно регрессоров в классической линейной модели должны выполнятся следующие предпосылки: регрессоры являются детерминированными; регрессоры измеряются без ошибок (предпосылка 1), регрессоры не коллинеарны; матрица наблюдений регрессоров имеет полный ранг (предпосылка 8); количество наблюдений регрессоров должно быть больше количества регрессоров (предпосылка 9).
Предпосылка о детерминированных регрессорах
Эта предпосылка означает, что в принципе значения регрессоров могут выбираться (контролироваться) исследователем (например, он может выбирать неслучайные моменты наблюдений при изучении зависимости регрессанда от времени). Предположение о детерминированных регрессорах существенно упрощает вывод уравнений и анализ свойств оценок наименьших квадратов. На практике при изучении реальных социально-экономических процессов эта предпосылка часто не выполняется. Ее нарушение может привести, например, к смещенности оценок наименьших квадратов. Это произойдет в случае, если хотя бы один регрессор и случайная составляющая модели коррелированы между собой.
Предпосылка: регрессоры измеряются без ошибок
На практике независимые переменные модели часто наблюдаются (измеряются) с ошибками. Если регрессор (независимая переменная) наблюдается с ошибками, то его наблюдаемое значение отличается от истинного и его можно представить в виде
|
где xip - i - ое наблюдаемое значение p - го регрессора, оно используется при построении модели; xip0 - истинное значение соответствующего регрессора (ненаблюдаемая величина); vip - ошибка наблюдения (измерения) p - го регрессора в i - ом наблюдении, это случайная не наблюдаемая величина. Иногда при построении регрессионной модели ошибками наблюдений можно пренебречь в силу их незначительного вклада, но если они существенны хотя бы для одного регрессора, то такую модель называют моделью с ошибками в наблюдениях переменных. Наличие и необходимость учета ошибок в наблюдениях приводит к таким же последствиям, как и наличие стохастических регрессоров. Для оценивания таких моделей необходимо использовать специальные методы, некоторые из которых являются модификациями обычного метода наименьших квадратов.
|
|
|
Предпосылка: регрессоры не коллинеарны
Выполнение данной предпосылки в классической линейной регрессии эквивалентно тому, что матрица наблюдений регрессоров X имеет полный ранг - ее столбцы линейно-независимы. При этом количество наблюдений должно быть больше (или по крайней мере, не меньше) количества оцениваемых коэффициентов модели или, что то же самое, больше количества регрессоров. При выполнении данной предпосылки решение задачи оценивания параметров модели по методу наименьших квадратов существует и единственно (модель идентифицируема). На практике эта предпосылка может нарушаться как в моделях с детерминированными регрессорами, так и (особенно) в моделях со стохастическими регрессорами.
При нарушении данной предпосылки говорят, что имеет место проблема мультиколлинеарности (коллинеарности) регрессоров. В моделях со стохастическими регрессорами коллинеарность регрессоров возникает, например, если они достаточно сильно коррелированы между собой (иногда отождествляют понятия коллинеарности и коррелированности регрессоров, но это не вполне корректно). Следствием коллинеарности в классической модели является то, что нормальное уравнение для оценок параметров не имеет единственного решения - не существует обратная матрица вида (XTX)-1 в уравнении ( 3. 15 ) для оценок параметров. На практике, особенно при большом количестве оцениваемых параметров и большом количестве наблюдений проблема мультиколлинеарности в классической модели возникает, если определитель матрицы (XTX) близок к нулю (тогда говорят, что матрица (XTX) плохо обусловлена ). В этом случае, хотя теоретически обратная матрица (XTX)-1 и существует, при ее вычислении могут накапливаться вычислительные ошибки, которые приводят к существенному искажению результатов. Для оценки степени коллинеарности применяют различные меры. Более подробно этот вопрос, а также отрицательные последствия коллинеарности в моделях со стохастическими регрессорами рассмотрены ниже.
|
|
|
|
|
|
