Ответ: 2685000 рублей. Решение. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной. 3.4 Нестандартные задачи

Ответ: 2685000 рублей.

 

Задача №12.

 

Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной

 

и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

 

Вид тары	Себестоимость, 1 ц.	Отпускная цена, 1 ц.
стеклянная	1500 руб.	2100 руб.
жестяная	1100 руб.	1750 руб.

 

 

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и еѐ себестоимостью).

 

Решение

 

Пусть x центнеров выпускает фабрика в стеклянной таре, а y центнеров – в жестяной. Тогда по условию имеем: x≥ 20, ≥ 20.

 

Составим функцию прибыли:

 

∑ (x, y) = 600x+650y→ наиб

Пусть производственная возможность равна 1, тогда ₉₀ + ₈₀ = 1

 

 

80x + 90y = 7200

 

x = 90 – 1, 125y

 

∑ (y) = 600(90 – 1, 125y)+650y→ наиб

 

∑ (y) = 54000 - 25y→ наиб

 

Возьмѐ м производную этой функции

∑ ^, =− 25< 0,

 

Значит функция убывает во всей области определения, т. е. принимает своѐ наибольшее значение при y=20. Тогда x = 90-1, 125 × 20 = 67, 5.

При этом максимальная прибыль будет 600 × 67, 5 + 650 × 20 = 53500 рублей.

 

Ответ: 53500 рублей.

 

3. 4 Нестандартные задачи

 

Задача №1.

 

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

 

Решение:

 

	Скорость	Время	Расстояние
		t	40t
велосипедист
		t	30t
велосипедист

Составим функцию квадрата расстояния между велосипедистами:

¹

 

 

 

∑ (t) = 25-400t+1600 ² + 9 − 180 + 900 ²→ наим ∑ (t) = 2500 ² − 580 + 34→ наим Возьмѐ м производную этой функции

∑ ^, = 5000t-580

 

Найдѐ м нули производной: 5000t-580=0

t = ₅₀₀₀⁵⁸⁰=₅₀₀⁵⁸=₂₅₀²⁹

 

Функция принимает своѐ наименьшее значение при t=₂₅₀²⁹ ч = 60мин ÷ 250 × 29 = 6, 96 мин (точка минимума).

 

Найдѐ м расстояние между велосипедистами:

(5− 40×

)2

+(3− 30×

)2

=

(5 − 4, 64)2 + (3 − 3, 48)2 = 0, 362 + 0, 482 =

=

= 0, 6

0, 1296 + 0, 2304

0, 36

 

 

Ответ: 0, 6км, 6, 96 минут.

 

 

Задача №2.

 

Бриллиант массой 20 карат был разбит на две части после чего его стоимость уменьшилась на 25, 5%. а) Найдите массы частей на которые был разбит бриллиант если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. б) На какое максимальное число процентов может уменьшиться цена бриллианта разбитого на две части.

 

Решение:

 

M=20 карат, S- стоимость бриллианта

 

S=km ², S₁=km₁ ², S₂=km₂ ²

 

Пусть m ₁ =x, тогда m ₂ =20-x

 

1) S1+S2=0, 745S

kx²+k(20-x)²=0, 745× k× 20²

 

x²+(20-x)²=298

 

x²+400-40x+102=0

 

x²-20x+51=0

 

x₁=17, x₂=3

 

Ответ: массы частей 17 и 3 карат.

 

2) Цена бриллианта максимально снизится, если обе части будут по 10 карат

S₁+S₂=aS

 

k× 10²+k× 10²=a× 20²× k 100+100=a× 400 a=200/400=0, 5

 

Ответ: на 50%

 

Задача №3

 

В одной стране в обращении находились 1000000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая нехорошая структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это время другая структура стала вывозить из страны 50000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержания фальшивых долларов в стране составит 5%?

 

Решение:

 

n - количество месяцев

 

	Было	Стали	Стали	Всего стало
		ввозить	вывозить
Всего		100000n	50000n	1000000+50000n
Фальшивые		10000n	15000n	200000-5000n

 

200000-5000n =0, 05(1000000+50000n )

 

200000-5000n =50000+2500n

 

-7500n = -150000

 

n=20

 

Ответ: 20 месяцев

 

 

Задача №4

 

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 рублей. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 рублей. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80%. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% больше суммы первого. На сколько процентов возросла цена одной акции?

 

Решение:

 

k- первоначальная цена 1 акции

 

x – штук купил первый брокер

 

y – штук купил второй

 

z – конечная цена 1 акции

+                                                                               = 3640

 

Составим систему уравнений:     0, 75 + 0, 8 = 3927 0, 8 = 2, 4 × 0, 75

3) 0, 8yz = 2, 4 × 0, 75xz

_{y =} 2, 4× 0, 75 _{= 2, 25x}

 

0, 8

 

1) k(x+y)=3640

 

k(x+2. 25x)=3640

k = _3. ³⁶⁴⁰₂₅ = ³⁶⁴⁰⁰⁰₃₂₅ = ¹¹²⁰

2) z(0, 75x+0, 8y)=3927 z(0, 75х+1, 8x)=3927 z× 2, 55x=3927

z=_{2. 55}³⁹²⁷ = ³⁹²⁷⁰⁰₂₅₅ = ¹⁵⁴⁰

 

4) Найдѐ м, на сколько процентов возросла цена одной акции

k =				- 100%
z =				- a%

a= ^{1540× 100}₁₁₂₀ = 137, 5%

 

Ответ: на 37, 5%

 

 

Задача №5.

 

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0, 5 x²+x+9 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

 

px-(0, 5 x²+x+9).   Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию

 

в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

 

Решение

 

Составим функцию прибыли:

 

∑ (x, p) = px-(0, 5 x²+x+9)→ наиб

 

∑ (x, p) = px-0, 5 x²-x-9

 

Возьмѐ м производную этой функции

∑ ^, = p-x-1

 

Найдѐ м нули производной: p-x-1=0

 

x = p-1

Функция принимает своѐ наибольшее значение при x = p-1 (точка минимума).

 

Найдѐ м прибыль:

 

∑ (p) = p(p-1)-0, 5 (p-1)²-(p-1)-9 = 0, 5p²-p-8, 5

 

По условию строительство завода должно окупиться не более, чем за 5 лет. То есть за 5 лет прибыль должна быть не меньше 115 млн рублей.

5(0, 5p²-p-8, 5) ≥ 115

 

0, 5p²-p-8, 5-23=0

 

p²-2p-63=0

 

p₁=9, p₂=-7

 

Ответ: 9 тысяч рублей.

 

⇐ Предыдущая234567891011

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: