 |
Изучение вращательного движения твердого тела
|
|
|
|
Цель работы
Экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции (маятник Обербека). Различные моменты внешних сил создаются грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.
Теория
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид
, (2.1)
где 
- угловое ускорение, М – полный момент внешних сил. Поскольку величина e является функцией двух переменных, то изучение закона динамики вращательного движения твердого тела выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости углового ускорения от момента силы при постоянном значении момента инерции (J = const) и 2) зависимости углового ускорения от момента инерции при постоянном значении момента силы (M = const).
Полный момент внешних сил равен
M = M н – Мтр, (2.2)
где Мн – вращающий момент (в данной работе - момент силы натяжения нити) Мтр – момент силы трения. С учетом этого основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид линейной зависимости момента силы натяжения Мн от e.
. (2.3)
Для экспериментального доказательства справедливости этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис. 6). Он состоит из четырех стержней А и двух шкивов с различными радиусами R1 и R2, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре цилиндрических груза (по одному на каждом стержне) одинаковой массы m1. При помощи груза массы m, прикрепленного к концу нити, намотанной на тот или иной шкив, маятник может приводиться во вращение. Определяя продолжительность t движения и перемещение h груза, можно определить ускорение его поступательного движения
|
|
|
. (2.4)
Это ускорение равно линейному ускорению точек шкива и связано с угловым ускорением крестовины соотношением
. (2.5)
Момент силы натяжения Т нити равен
M н =Т R. (2.6)
Силу Т можноопределить из второго закона Ньютона для поступательного движения, который в проекциях на ось 0 Y дает
, (2.7)
где m – масса груза.
Таким образом, момент сил натяжения
нити равен
. (2.8)
Согласно (2.3) Мн линейная функция e. На рис. 7 эти зависимости для различных зна-чений моментов инерции системы изображены в виде графиков, угловые коэффициенты которых равны J. Эти графики отсекают от оси Мн отрезки, равные моменту силы трения Мтр. Так как Мтр одинаков во всех опытах, то все графики должны пересекаться в одной точке. Функция (2.3) верна для любых двух моментов сил, поэтому
(2.9) Откуда 
. (2.10)
|
|
|
Таким образом, величина J может быть, с одной стороны, измерена, а с другой стороны, рассчитана, исходя из масс и геометрических размеров деталей установки Обербека. Момент инерции J маятника вычисляется из условия аддитивности момента инерции и равен сумме моментов инерции шкивов, крестовины и цилиндрических грузов, вращающихся вокруг оси, не проходящей через их середины. Графики позволяют также определить момент силы трения Мтр., действующей в системе.
Экспериментальная установка
Ось маятника Обербека закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по спицам, можно легко изменять момент инерции системы. На шкив виток к витку наматывается нить, к которой привязана платформа известной массы. На платформу накладываются грузы из набора. Высота падения грузов измеряется с помощью линейки, укрепленной параллельно нити. Маятник Обербека может быть снабжен электромагнитной муфтой - пускателем и электронным секундомером. Перед каждым опытом маятник следует тщательно отрегулировать. Особое внимание необходимо обратить на симметричность расположения грузов на крестовине. При этом маятник оказывается в состоянии безразличного равновесия.
Проведение эксперимента
Задание 1. Оценка момента силы трения, действующей в системе
Измерения
1. Устанавливают грузы m 1 на крестовине в среднее положение, размещая их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
2. Накладывая небольшие грузы на платформу, определяют приближенно минимальную массу m0 , при которой маятник начнет вращаться. Оценивают момент силы трения из соотношения
Мтр = m0gR, (2.11)
где R – радиус шкива, на который намотана нить.
3. Дальнейшие измерения желательно проводить с грузами массой m ³ 10 m 0.
Задание 2. Проверка основного уравнения динамики вращательного движения
Измерения
1. Укрепляют грузы m1 на минимальном расстоянии от оси вращения. Балансируют маятник. Измеряют расстояние r от оси маятника до центров грузов.
|
|
|
2. Наматывают нить на один из шкивов. По масштабной линейке выбирают начальное положение платформы, производя отсчет, например, по ее нижнему краю. Тогда конечное положение груза будет находиться на уровне поднятой приемной платформы. Высота падения груза h равна разности этих отсчетов и может быть оставлена во всех опытах одинаковой.
3. Кладут на платформу первый груз. Расположив груз на уровне верхнего отсчета, фиксируют это положение, зажимая нить электромагнитной муфтой. Подготавливают к измерению электронный секундомер.
4. Отпускают нить, предоставив грузу возможность падать. Это достигается отключением муфты. При этом автоматически включается секундомер. Удар о приемную платформу останавливает падение груза и останавливает секундомер.
5. Измерение времени падения при одном и том же грузе выполняется не менее трех раз.
6. Проводят измерения времени падения груза m при других значениях момента Мн. Для этого либо добавляют на платформу дополнительные перегрузки, либо перебрасывают нить на другой шкив. При одном и том же значении момента инерции маятника необходимо провести измерения не менее чем с пятью значениями момента Мн .
7. Увеличивают момент инерции маятника. Для этого достаточно симметрично переместить грузы m 1 на несколько сантиметров. Шаг такого перемещения должен быть выбран таким образом, чтобы получить 5-6 значений момента инерции маятника. Проводят измерения времени падения груза m (п.2-п.7). Все данные заносят в таблицу 2.1 отчета.
Обработка результатов. Исследование зависимости углового ускорения от момента силы при постоянном значении момента инерции.
1. Пользуясь формулами (2.4.), (2.5), (2.8), определяют для каждого опыта по средним значениям времени 
значения линейного ускорения а, углового ускорения e и момента силы натяжения нити Мн.
2. Строят графики зависимостей момента силы Мн, как функции, от углового ускорения e, как аргумента, для различных моментов инерции маятника J. Т. к. Мн = f (e) – линейная функция, то ее графики будут прямыми линиями. Если экспериментальные точки не ложатся на прямую, графики надо проводить так, чтобы «разброс» точек был приблизительно одинаков по обе стороны прямой. При этом они не обязательно пройдут через одну точку на вертикальной оси. Малый «разброс» точек свидетельствует о хорошей линейности функции Мн = f (e) и том, что угловое ускорение действительно прямо пропорционально полному моменту сил, приложенных к вращающемуся телу.
|
|
|
Обработка результатов. Исследование зависимости углового ускорения от момента инерции при постоянном значении момента силы
1. Для исследования используют ранее построенный график. Рассчитывают моменты инерции маятника по формуле (2.10). Для этого нужно выбирать точки прямо с графиков, например, А(М1н , e 1) и В(М2н,, e 2).
2. На графике проводят горизонтальную прямую через произвольную точку на оси Мн, пересекающую графики Мн = f(e). Точки пересечения позволяют определить те значения угловых ускорений маятника, которые соответствуют разным значениям моментов инерции, но при постоянном значении момента силы M = Mн – M тр. Записывают полученные значения e и соответствующие им значения J в таблицу 2.2. отчета.
3. Угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции, т. е. график зависимости e = f (J) представляет собой гиперболу и не идентифицируется. Но график зависимости e = f (J -1) должен представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат. Поэтому следует вычислить величины J -1 и построить соответствующий график. Угловой коэффициент наклона этого графика равен полному моменту приложенных сил.
Обработка результатов. Определение момента силы трения, действующей в системе
1. В идеальном случае все графики M=f(e) должны пересекаться в одной точке, лежащей на оси М. Координата этой точки дает значение момента силы трения. Для реальных же графиков, скорее всего, будет иметь место некоторый разброс в положении этой точки.
2. Определить по графику все значения момента силы трения и найти его среднее значение. Сравнить полученный результат с ранее измеренным в задании 1.
Задание 3. Сравнение измеренных и вычисленных значений моментов инерции
маятника
1. Выписывают в таблицу 2.4 отчета измеренные значения моментов инерции маятника.
2. Используя формулы для расчета моментов инерции геометрически правильных тел и теорему Гюйгенса – Штейнера, вычисляют моменты инерции шкивов, крестовины и грузов, вращающихся вокруг оси, не проходящей через их середину. Данные для расчета берут из «паспорта» прибора. Общий момент инерции маятника находится суммированием моментов инерции деталей маятника.
|
|
|
3. Сравнивают вычисленные и измеренные значения моментов инерции. Находят относительные отклонения вычисленных и измеренных моментов инерции: 
.
|
|
|
