 |
Сложение колебаний одного направления
|
|
|
|
При сложении колебаний одного направления с одинаковой амплитудой А и близкими частотами w и w + D w (Dw<<w) возникают сложные колебания, называемые биениями. Запишем уравнения колебаний:
(10.4)
Сложив эти выражения, получим
(10.5)
(во втором множителе пренебрегаем членом D w /2, который значительно меньше w).
Движение, описываемое формулой (10.5), можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с переменной амплитудой (рис. 23). Величина амплитуды определяется модулем множителя, стоящего в скобках. Частота пульсаций амплитуды (частота биений) равна разности частот колебаний, а период биений равен
(10.6)
Затухающие колебания
Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления (трения). Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела 
, где r – коэффициент трения, то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид
, (10.7)
где 
- коэффициент затухания, 
– частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной. Промежуток времени t =1/ b, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е (2,72) раз, называется временем релаксации.
|
|
|
Если b < w 0, то система совершает затухающие колебания:
, (10.8)
где A 0 и j 0 – постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно, 
. Величина
А(t)= A 0 e - b t (10.9)
называется амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону (рис. 24). Опытная проверка (10.9) сводимая к графическому изображению зависимости А от t, связана с трудностью идентификации («распознавания ») закономерности.
Задача упрощается переводом зависимости (10.9) в линейную путем замены переменных. Действительно, прологарифмируем (10.9)
lnA = lnA 0 - b t (10.10)
или 
. (10.11)
Теперь в координатах ln(A0/А), t получается прямая, изображенная на рис.25. Нетрудно видеть, что угловой коэффициент ее определяется соотношением
. (10.12)
Убывание A принято также характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал t=T, где T= 2 p / w – период колебаний. Пусть в момент t амплитуда равна At, а в момент (t + T) – At + T. Отношение
[ D ] = 1, (10.13)
называется декрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды. Более удобен, однако, логарифмический декремент затухания
d = ln D = b Т, [ d ] = 1, (10.14)
Величина, обратная логарифмическому декрименту затухания, дает число колебаний, в течении которых амплитуда затухающего колебания уменьшается в е раз.
Проведение эксперимента
Задание 1. Включение и настройка осциллографа и генератора
|
|
|
1. Перед включением осциллографа устанавливают ручки регулировки: регулятор яркости – в крайнее правое положение (т.е. на максимальную яркость); регулятор фокусировки – в среднее положение; усиление по оси Y – в нулевое положение; усиление по оси Х – в среднее положение; переключатель диапазонов развертки – в положение 30-130. Вилку шнура питания включают в сеть и устанавливают тумблер «Сеть» в верхнее положение; контрольная лампочка на передней панели должна загореться. Прибор прогревают в течение 2-3 мин. Включают тумблер «Луч», при этом на экране должна появиться яркая линия. Линия может не появляться вследствие слишком большого отклонения луча за пределы экрана трубки. Для возвращения луча постепенно устанавливают регулятор положения луча на оси Y (ручка «Ось Y») в разные позиции и в каждой из них поворачивают регулятор положения луча по оси X (ручка «Ось X»). При нахождении линии уменьшают яркость и регулируют фокусировку до максимально четкого изображения.
2. Соединяют проводником клемму «Контрольный сигнал» с клеммой «Y -вход», переключатель «Диапазоны частот» – в положение 30-130. Вращением ручек «Частота плавно» и «Амплитуда синхронизации» получают неподвижную картину развертки контрольного сигнала во времени (переключатель «Синхронизация» устанавливают в положение «Сеть» или «Внутр.»). Регуляторами усиления по осям X и Y устанавлива-
ют желаемые размеры изображения. Исследуют влияние различных регуляторов на изображение. Изменяя частоту развертки, получают на экране 1, 2, 3 и т.д. полных колебаний.
3. Вилку шнура генератора ГЗ-33 включают в сеть переменного тока напряжением 220В. Тумблер включения сети ставят в положение «Вкл», при этом должна загореться
сигнальная лампочка. К работе следует приступить после предварительного прогрева генератора в течение нескольких минут. Подключают выход генератора на «Y - вход» осциллографа. Сопротивление выходного устройства генератора должно быть согласовано с сопротивлением нагрузки (в данном случае – осциллографа). Переключатель «Вых. сопротивление» необходимо поставить в положение, наиболее соответствующее величине нагрузки (по указанию преподавателя или лаборанта).
|
|
|
Затем ручкой «Множитель» и поворотом лимба установить произвольную частоту. С помощью ручки «Рег. выхода», а при необходимости и ручки «Пределы шкал – ослабление» генератора а также с помощью ручек управления осциллографа получают неподвижную картину развертки сигнала от генератора. Убеждаются в том, что генератор дает неискаженные гармонические колебания во всем диапазоне частот от 20 до 20000 Гц.
Задание 2. Управление аплитудой колебаний звукового генератора
1. Колебания от звукового генератора подают на «Y -вход». Получают на экране осциллографа вертикальную линию, длина которой пропорциональна амплитуде колебаний напряжения звукового генератора. Поворачивают на панели генератора ручку «Пределы шкал – ослабление», наблюдают изменение амплитуды колебаний генератора. Цифры в окне аттенюатора указывают пределы напряжения, измеряемого вольтметром, а цифра в нижней строке – затухание, т.е. отношение интенсивности колебаний на выходе ГЗ к интенсивности колебаний, подаваемых на вольтметр.
В децибелах может быть выражено отношение двух любых интенсивностей I 1 и I 2:
. (10.15)
Известно, что интенсивность пропорциональна энергии колебаний, а энергия пропорциональна произведению квадрата амплитуды на квадрат частоты колебаний. Следовательно:
. (10.16)
Если n 1 = n 2, то
. (10.17)
Таким образом изменение амплитуды колебаний на ± 10 дБ означает увеличение или уменьшение амплитуды в 3,16 раза.
2. Ставят ручку «Пределы шкал – ослабление» в положение «0 дБ» и, пользуясь ручкой «Рег. выхода», получают на экране осциллографа вертикальную прямую линию наибольшей длины, удобной для измерения. Ручку «Ослабление» ставят в положение 1:1. Измеряют длину прямой а0 (удвоенную амплитуду колебаний) в делениях сетки на экране. Вводят затухание -10, -20,-30 дБ, измеряя каждый раз длину линии: а-1, а-2, а-3. Частоту генератора поддерживают постоянной (примерно 103 Гц).
|
|
|
3. Вычисляют отношения 
. По формуле (10.17) рассчитывают затухание. Сравнивают полученные результаты с затуханием, определенным по показаниям ручек «Затухание, дБ».
4. Такие же измерения проводят, поставив ручку «Пределы шкал – ослабления» в положение +30 дБ (а+3), а затем переключая ее в положение +20, +10, 0 дБ (а +2, а+1, а0).
5. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 10.1. отчета. В выводе оценивают точность измерений и правильность калибровки положения ручек ступенчатой регулировки амплитуды генератора.
Задание 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
1. Подают контрольный сигнал на «Y -вход» осциллографа. Выключают генератор развертки. На «Х-вход» подают сигнал от ГЗ-33. Получают на экране осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний от контрольного сигнала и звукового генератора.
2. Получают первую фигуру Лиссажу – эллипс. Для этого на генераторе должна быть выставлена частота 50 Гц. Для точной окончательной подгонки частот используют ручку «Расстройка, %». Если разность колебаний будет постоянной, то эллипс будет стабильно располагаться на экране. Обычно же разность фаз медленно меняется и эллипс постепенно меняет форму, периодически вырождаясь в прямые линии.
3. Подбирают на генераторе кратные 50 Гц частоты колебаний (1:2; 1:3; 3:1; 2:1; 2:3; 3:2) и получают следующие фигуры Лиссажу. Амплитуды колебаний подбирают так, чтобы фигуры вписывались в прямоугольник размером, например, 2 ´ 3 см. Зарисовывают фигуры в отчет, указывая, при каком отношении частот они получены.
4. На рисунках находят и указывают точки касания фигурами горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольников. В выводе сверяют отношение числа касаний и отношение частот колебаний.
Задание 4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой
1. Для получения биений используют два одинаковых генератора ГЗ-33.
2. Для измерения периода биений удобно выбрать небольшие частоты складываемых колебаний, например, 50 и 51 Гц. Вначале подключают генераторы к «Х» и «Y - входам» осциллографа и, получив первую фигуру Лиссажу, тщательно уравнивают частоты колебаний генераторов – 50 Гц.
3. Затем сигналы от обоих генераторов подают на «Y -вход». Частоту одного из генераторов изменяют на 1-2 Гц. Наблюдают на экране осциллографа картину биений. Определяют период биений, измеряя время 10-20 биений. По формуле (10.6) рассчитывают период биений. В выводе сравнивают вычисленный и измеренный период биений.
|
|
|
Задание 5. Изучение затухающих колебаний
Для получения затухающих колебаний в данной работе используется специальная электрическая схема. Питание схемы осуществляется от генератора развертки осциллографа, для чего с помощью длинного проводника соединяют клемму «П» устройства с клеммой «М», расположенной на задней панели осциллографа. Клеммы «Выход» соединяют с «Y -входом» осциллографа. Включают осциллограф и получают устойчивую осциллограмму затухающих колебаний с десятью-двенадцатью полными колебаниями. Для окончательной стабилизации картинки используют ручку «Амплитуда синхронизации», поставив переключатель вида синхронизации в положение «Внутр.».
1. Используя сетку на экране осциллографа, измеряют амплитуды нескольких колебаний, отстоящие на один период друг от друга.
2. Для определения периода затухающих колебаний поступают следующим образом.
Сначала подсчитывают число полных колебаний, приходящихся, например, на 10 больших клеток экранной сетки осциллографа. Затем, не изменяя настроек осциллографа (не трогая ручки «Диапазоны частот» и «Частота плавно», «Усиление X»), вместо устройства для получения затухающих колебаний подключают к осциллографу генератор ГЗ-33. Пользуясь только ручками управления генератора, получают на экране синусоиду с таким же периодом (с таким же количеством колебаний на экране), как и у затухающих колебаний. Частоту определяют по лимбу генератора. Вычисляют период колебаний.
3. Вычисляют отношения А0/А0, А0/А1 , А0/А2 , А0/А3 и т. д. и натуральные логарифмы этих отношений. Строят график ln (A 0 / Ai)= f (t) от времени (рис.25). Масштаб времени равен периоду колебаний. По углу наклона прямой полученной прямой находят коэффициент затухания b и логарифмический декремент затухания d.
|
|
|
