 |
Определение момента инерции и проверка теоремы гюйгенса-штейнера
|
|
|
|
МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы
Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы.
Идея эксперимента
В эксперименте используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса – Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.
Теория
Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
, (3.1)
где w - угловая скорость вращения, J – момент инерции тела относительно оси вращения, М – момент внешних сил относительно этой оси.
Теорема Гюйгенса – Штейнера. Если момент инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, имеет значение J 0, то относительно любой другой оси, находящейся на расстоянии а от первой и параллельной ей, он будет равен
, (3.2)
где m – масса тела.
Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера в данной работе исследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярном подвесе. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис. 8). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО ¢, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.
|
|
|
Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то
приращение ее потенциальной энергии будет равно
, (3.3)
где g – ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной
, (3.4)
где J – момент инерции платформы, w 0 – угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.
Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:
. (3.5)
Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы a от времени t в виде
, (3.6)
где a - угловое смещение платформы, a 0 – угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения, Т – период колебания. Для угловой скорости w, являющейся первой производной по времени от величины смещения, можно записать
. (3.7)
В моменты прохождения платформы через положение равновесия (t = 0, 0,5Т, …) величина w (t) будет максимальна и равна
|
|
|
. (3.8)
Из выражений (3.5) и (3.8) следует, что
. (3.9)
Если l длина нитей подвеса, R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус верхнего диска (рис. 8), то легко видеть, что
(3.10)
Так как
, (3.11)
а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия
, (3.12)
то
. (3.13)
При малых углах отклонения a 0 значение синуса этого угла можно заменить просто значением a 0. Учитывая также, что при R << l величину знаменателя можно положить равной 2 l, получаем
(3.14)
При этом закон сохранения энергии (2.9) примет вид:
, (3.15)
откуда следует, что
(3.16)
По формуле (3.16) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m – это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.
|
|
|
