 |
Изучение физического маятника
|
|
|
|
Цель работы
Изучение основных закономерностей колебательного движения физического маятника.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется физический маятник, представляющий собой прямой стержень, колеблющийся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести стержня.
Теория
Колебания являются одним из наиболее распространенных видов движения. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис. 15).
Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j, то составляющая 
силы тяжести 
уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая 
стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом
. (7.1)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника
из положения равновесия sin j» j, поэтому F t» -mg j. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения
, (7.2)
где М – момент силы F t относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно оси О, 
- угловое ускорение маятника.
Момент силы в данном случае равен
M = F t × l = - mg j × l, (7.3)
|
|
|
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
С учетом (7.2) уравнение (7.1) можно записать в виде
(7.4)
или
, (7.5)
где 
Решением дифференциального уравнения (7.5) является функция
j = j 0 × cos(w 0 t+ a), (7.6)
позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (7.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания (колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по законам синуса или косинуса) с амплитудой колебаний j 0, циклической частотой 
, начальной фазой a и периодом
, (7.7)
где L = J /(mg) – приведенная длина физического маятника, т.е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника.
Формула (7.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси.
Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (7.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 3). Например, для физического маятника, имеющего вид однородного стержня, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню, формула (7.7) приобретает вид
, (7.8)
|
|
|
где d – длина стержня, l – расстояние от оси качаний до центра тяжести стержня.
Экспериментальная установка
Применяемый в данной работе физический маятник состоит из однородного металлического стержня и опорной призмы, которая может перемещаться вдоль стержня. Можно также использовать стержень с отверстиями, с помощью которых маятник одевается на горизонтальную ось. Период колебаний маятника измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.
Проведение эксперимента
Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния между осью качаний и центром тяжести маятника.
Измерения
Измеряют периоды колебаний Т физического маятника при различных расстояниях l между центром тяжести и осью качаний. Шаг изменения расстояния l выбирают с таким расчетом, чтобы получить 8-10 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 15-20. Полученные данные заносят в таблицу 7.1 отчета.
Обработка результатов
1. Вычисляют периоды колебаний маятника во всех опытах.
2. Строят график зависимости периода колебаний маятника от расстояния l.
3. График T = f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. В качестве новых переменных выбирают Т2 l и l 2, т. е. строят график зависимости (Т2 l) = f (l 2). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о правильности формулы периода колебаний физического маятника.
4. Производят обработку результатов с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
5. Используя полученное уравнение прямой, находят величины 
и 
. Вычисляют погрешности измерения этих величин.
6. Вычисляют ускорение свободного падения g и погрешность его измерения.
7. Вычисляют длину стержня d и погрешность её измерения. Для вычисления используют раннее полученное значение g и погрешность его измерения.
8. Сравнивают полученное значение g с табличным значением, а величину d c длиной стержня. Делают вывод о точности проделанных измерений.
9. Для случая, когда расстояние l имеет наибольшее значение, вычисляют приведенную длину физического маятника.
Задание 2. Определение моментов инерции тел различной формы методом колебаний.
|
|
|
1. Из набора тел к работе берут (по указанию преподавателя) одно и измеряют период его колебаний относительно произвольной оси.
2. С помощью формулы (7.7) вычисляют момент инерции тела относительно оси качаний.
3. Производят необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычисляют момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса –Штейнера рассчитывают момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний. Измеренный и вычисленный результаты сравнивают в выводе.
|
|
|
