6. Главные напряжения, инварианты напряжений.
6. Главные напряжения, инварианты напряжений. Из рис. 3. 2 видно, что существуют площадки, на которых составляющие тензора напряжений принимают экстремальные значения. Нормальное напряжение – максимальное, а касательное – минимальное, равное нулю. Полное напряжение и нормальное для данных площадок совпадает по величине и направлению. Такие площадки называются главными. Оси, перпендикулярные к главным площадкам называются главными осями, а нормальное напряжение на главных площадках – главными нормальными напряжениями и обозначаются
Рассмотрим наклонную площадку, сориентированной таким образом относительно координатных площадок Проектируя главные напряжения на оси
Подставляя значения
Или:
Кроме этого
где Раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение вида:
где Так как выбор произвольных площадок определяется поворотом координатных осей, а полное напряжение от этих поворотов не зависит. При этом от поворотов осей не зависят и главные напряжения, которые при векторном суммировании дают полное напряжение. Следовательно, от выбора системы координат не зависят и коэффициенты, являющиеся инвариантами тензора напряжений. При решении кубического уравнения получим три корня. Исследование направляющих косинусов показывают, что главные площадки по отношению друг к другу являются взаимно перпендикулярными. Выражения инвариантов имеют вид – линейный инвариант:
квадратный инвариант:
Инварианты напряжений позволяют в дальнейшем определить обобщенные показатели напряженного состояния в главных и произвольных координатах.
7. Общая схема определения главных касательных напряжений. При заданных величинах главных нормальных напряжений
Выясним, в каких площадках касательные напряжения получают экстремальные значения. Пусть
Дифференцируем по Преобразуя, имеем
или
Дифференцируя уравнение для
Решениями последних уравнений является Далее, приняв Из условия Первые три группы значений направляющих косинусов определяют плоскости, в которых касательные напряжения принимают минимальные значения, равные нулю. Вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений. Таким образом, имеем три пары площадок, расположенных под углом 45о к главным, в которых касательные напряжения достигают максимальных абсолютных значений.
Подставляя в выражение для определения касательного напряжения значения направляющих косинусов, определим значения максимальных касательных напряжений:
Эти напряжения называются главными касательными напряжениями. Нормальные напряжения в этих площадках получаться при подстановке значений направляющих косинусов в выражение для нормального напряжения на наклонной площадке т. е.:
Площадки, на которых действуют главные касательные напряжения, ещё называют, диагональными.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|