 |
13. Перемещения точки. Характеристика деформированного состояния точки.
|
|
|
|
13. Перемещения точки. Характеристика деформированного состояния точки.
Рассматриваются малые пластические деформации, т. е. деформации в данный момент времени. При деформации каждая точка смещается относительно первоначального своего положения. Пусть перемещение точки в пространстве определяется вектором 
. Его составляющие 
, тогда:
,
где 1, 2, 3 – направления разложения вектора 
согласно правилу параллелепипеда.
Если элементарный объем повернуть относительно осей 1, 2, 3, то составляющие относительно новых граней будут располагаться произвольным образом и тогда каждую из них можно разложить по правилу параллелепипеда на составляющие вдоль произвольных координат 
, рис. 4. 1.
В этом случае векторная сумма:
Каждая тройка перемещений соответствует одной площадке, т. е.:
; 
; 
.
Касательные составляющие равны нулю, тогда:
; 
; 
,
т. е. нормальные составляющие перемещений достигают экстремального значения. Направление оси 
определяется единичным вектором 
, оси 
- вектором 
, оси 
- вектором 
.
Рисунок 4. 1 - Перемещение материальной точки
Таблица вида:
,
представляет собой геометрическую сумму указанных векторов, что определяет полное перемещение . Через единичные вектора можно записать сумму:
Направления, которые определяют площадки, где отсутствуют касательные напряжения, задаются единичными векторами 
, 
, 
. Тогда:
Если перемещения заданы в приращениях, тогда:
.
Через единичные вектора:
.
Перемещения, которые задаются единичными векторами , , :
Проекции вектора определяют этот вектор и по модулю и по направлению. Действительно:
; 
,
где 
- углы между вектором и осями 1, 2, 3. При известных направляющих косинусах, известно направление вектора 
в пространстве. Это относится и к произвольным координатам 
. Направления 1, 2, 3 называют главными направлениями.
|
|
|
14. Общая схема определения линейных и сдвиговых деформаций.
Деформация любого элементарного объема тела (параллелепипед), может быть представлена из ряда отдельных простейших деформаций, т. е. разложена на составляющие. Имеется шесть составляющих деформаций: три линейных (удлинений) и три угловых (сдвиги). Линейные деформации обозначаются 
с индексом, указывающим направление удлинения. Положительной деформацией считается деформация удлинения. При данных деформациях изменяется объем и форма.
Положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между направлением осей. Углы сдвига (относительные сдвиги), проектирующиеся на плоскость 
, обозначаются 
или 
, рис. 4. 2. Для других плоскостей - 
или 
и т. д. Считается, что при малых углах сдвига, объем остается неизменным. Угловые деформации не влияют на линейные.
Рисунок 4. 2 - Угловые деформации
Выразим компоненты деформаций через компоненты перемещений. Выделим в точке тела элементарный объем с бесконечно малыми ребрами 
, параллельными осям координат. Проекция элементарного параллелепипеда на плоскость 
до деформации, точка 
является проекцией рассматриваемой точки 
на плоскость, рис. 4. 3.
Рисунок 4. 3 - Перемещения точки в плоскости
После деформации точки получили перемещения, и перешли в положение со штрихом. В общем, все перемещения зависят от координат, при этом необходимо учитывать перемещения связанные и с пластической деформацией. Если перемещения вдоль соответствующих осей зависят и от производных по этим же координатам, то пластическое течение совпадает с общим перемещением точки. Если нет, то пластическое течение перпендикулярно общему перемещению и тогда появляются сдвиги. В первом случае:
|
|
|
,
где 
- удлинение ребра в результате его деформации вдоль оси 
.
Относительная деформация:
.
Аналогично получим:
,
.
Во втором случае:
; 
,
где 
и 
- смещение векторов перемещений 
и 
в поперечном направлении 
, что приводит к угловым сдвигам 
и 
. Если их нет, смещаемые точки располагаются на прямых параллельных осям координат. Частные производные становятся равными нулю. Принимая 
и 
, запишем:
.
Так как 
значительно меньше единицы, то 
. Тем же способом получим 
. Тогда 
. Следовательно:
.
Принято выражать сдвиги в виде половинок, тогда 
, 
. Причем 
. Индексация будет совпадать с индексацией касательных напряжений и касательных перемещений в предыдущем разделе. В итоге получим: относительные удлинения:
, 
, 
,
относительные сдвиги:
, 
, 
.
Эти уравнения получим О. Л. Коши. Линейные и сдвиговые деформации можно записать в виде таблицы:
.
Значение 
является тензором деформаций, обладающий такими же свойствами, как и тензор напряжений. Он полностью определяет деформированное состояние точки.
Из последних соотношений определим элементарные перемещения точек в результате пластической деформации, тогда:
,
.
Если подставить последние соотношения в выражение для определения приращения вектора перемещения с учетом, что 
, тогда:
,
или
.
Для осесимметричного напряженного состояния в цилиндрических координатах без вывода:
, 
, , 
.
Следует подчеркнуть, что пластической деформации в направлении координаты 
нет. Деформация 
определяется геометрическими построениями.
Можно показать, что в цилиндрических координатах при объемном напряженно-деформированном состоянии компоненты тензора деформаций имеют вид:
, 
, ,
, 
.
На границе перемещение можно представить в виде:
,
не раскладывая предварительно на составляющие по главным направлениям.
|
|
|
