Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

1.3.2. Связь напряжений и деформаций для пространственного

1. 3. 2. Связь напряжений и деформаций для пространственного

напряженного состояния

Часто возникает необходимость выразить напряжения через деформации. Решим уравнения обобщенного закона Гука относительно :

Пусть:

Определим . Суммируя напряжения, получим:

или

где - , .

Тогда:

Или

, ;

, .

Выражения также определяют запись обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния через деформации. Для нормальных напряжений можно записать:

; ; ,

где (объемная деформация), (постоянная Ляме).

Определяя разность, имеем:

; ;

Из последних соотношений определяется подобие кругов Мора для напряжений ( ) и для деформаций ( ). Применительно к «главному кубу», можно показать, что:

; ; .

Получим упрощенную запись обобщенного закона Гука, используя выражение для обобщенного напряжения, действительно:

Учитывая, что:

Имеем:

Интенсивность напряжений прямо пропорциональна интенсивности деформаций. Если в процессе простого и сложного нагружения для каждого последующего момента времени интенсивность напряжения и интенсивность деформации превышают их значения для предыдущего момента времени, то такой процесс деформации называется активным. В противном случае – пассивным. Это имеет значение для теории пластичности, где имеет место различие законов нагрузки и законов разгрузки.

1. 3. 3. Закон упругого изменения объема и закон упругого изменения формы

Ранее было получено выражение:

Среднее напряжение прямо пропорционально средней деформации. Так как, , то . Среднее напряжение в точке пропорционально объёмной деформации в окрестности той же точки.

Выражения определяют закон упругого изменения объёма. Этот закон справедлив и при высоких значениях гидростатического давления, значительно превышающих обычный предел упругости материала.

Если в выражениях для нормальных напряжений отнять от левых и правых частей величину , тогда:

Подставляя , получим .

В итоге:

; ,

; .

Выражения широко применяются в теории пластичности. Если левые и правые части выражения назвать компонентами напряжений изменения формы с компонентами деформаций изменения формы, то обобщенный закон упругости является законом изменения формы. Формулируется так: компоненты напряжений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу.

Систему зависимостей можно представить в виде таблицы

Как известно, левую матрицу называют девиатором напряжений, а правую – девиатором деформаций, тогда

Девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций. Выражения определяют также закон изменения формы.

Используя закон изменения объема и понятие о шаровых тензорах, имеем:

т. е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформации, где

21. Связь деформаций и напряжений.

Известна связь между напряжением и деформацией при одноосном напряженном состоянии, установленным Гуком:

где - относительные удлинения параллелепипеда вдоль оси под действием одного напряжения , – модуль упругости материала.

В направлении осей и , поперечных к действующей силе, имеет место деформация согласно закону Пуассона:

где - коэффициент Пуассона.

Соответственно для напряжений и имеем:

, ,

, .

Так как между напряжениями и деформациями линейная зависимость, то действует принцип суперпозиции или закон независимости действия сил, согласно которому:

; ;

Выражения предполагают, что не существует перекашивания прямых углов на гранях (углы сдвига) элементарного параллелепипеда.

Действие касательных напряжений искажают форму параллелепипеда. Принимается, что касательные напряжения или деформации сдвига не зависят от нормальных напряжений или линейных удлинений. Совокупность касательных напряжений , вызывает перекашивание граней, параллельных плоскости и оставляют без изменения другие грани. В соответствии со вторым законом Гука: