 |
Основная метрическая задача
|
|
|
|
Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат 
, 
, то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:
.
Учитывая, что 
, 
и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:
.
Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите координаты точки А, если В (3;0;-2), 
.
2. С – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А (1;0;-4), С (3;1;0).
3. Точки Р и Q лежат внутри отрезка АВ, причем АР=Р Q = Q В. Найдите (В Q,А).
4. На плоскости дан отрезок [АВ]. Постройте точку С, делящую направленный отрезок 
в отношении 
; 
.
5. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(0;5),С(-2;2). Пользуясь теоремой, обратной теореме Пифагора, выясните, будет ли этот треугольник прямоугольным.
6. Можно ли вывести формулы для нахождения расстояния между двумя точками, координаты которых даны в аффинной системе координат?
Раздел 1_4 - Формулы преобразования координат
Преобразование аффинной системы координат
Возьмем на плоскости две аффинные системы координат 
и 
. Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты х,у, а в новой системе - координаты 
(рис. 40).
| О |
| О' |
| М |
|
|
|
|
| Рис. 40 |
, 
, 
, (3)
выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.
|
|
|
Из формул (3) следует, что
; 
; 
. (4)
(по правилу треугольника).
Так как 
, 
, то по определению координат точки 
, 
, т.е. 
; 
.
Тогда, используя формулы (4), получим:
,
т.е. 
,
откуда находим:
 ;
|
. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты 
в новой системе .
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.
Коэффициенты 
, 
при 
- координаты нового вектора 
в старой системе ; коэффициенты 
, 
при 
- координаты нового вектора 
в старой системе, свободные члены 
, 
- координаты нового начала 
в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе
| х |
| у |
| = |
| = |
|
|
|
|
|
|
| + |
| + |
|
|
|
|
|
|
| + |
| + |
|
|
| Координаты точки М в старой системе
|
| Координаты нового вектора в старой системе
|
Координаты нового вектора  в старой системе
|
| Координаты нового начала в старой системе
|
Таблица 
называется матрицей перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
Частные случаи преобразования аффинной
Системы координат
1. Перенос начала.
При этом преобразовании 
, 
, а 
(рис. 41).
Найдем координаты векторов и в старой системе, т.е. , 
, 
и 
:
Þ 
Þ 
, 
;
Þ 
Þ 
, 
.
Тогда формулы (5) примут вид:
|
| (6) |
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
| О |
| О' |
|
|
|
|
|
|
| Рис. 41 |
|
|
|
|
|
|
| О'=О |
| Рис. 42 |
2. Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).
Так как 
, то 
, 
. Тогда формулы (5) примут вид:
|
|
|
 ;
 .
|
| (7) |
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.
Задания для самостоятельной работы
1. Напишите формулы преобразования аффинной системы координат в аффинную систему координат , если 
, 
, 
в системе .
2. Может ли матрица перехода от базиса , к базису , иметь вид 
и почему?
3. Напишите формулы переноса начала, если 
в системе координат .
4. Напишите формулы замены координатных векторов, если 
, 
.
5. Запишите матрицу перехода от базиса , к базису , в случае:
а) переноса начала;
б) замены координатных векторов.
Понятие направленного угла между векторами.
|
|
|
