 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
1. Найдите каноническое уравнение оси 
; оси 
аффинной системы координат 
.
2. Найдите каноническое уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки 
.
3. Могут ли числа а и в в уравнении прямой «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно из чисел равняться 0? Почему?
4. Какое из следующих шести уравнений является уравнением прямой в «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
а)  ;
| г)  ;
| ж)  ;
|
б)  ;
| д)  ;
| з)  ;
|
в)  ;
| е)  ;
| и)  .
|
5. Напишите уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок 
и имеющей угловой коэффициент 
.
6. Почему для прямой, параллельной оси , не существует уравнения с угловым коэффициентом? Существует ли для такой прямой уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом и почему?
7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку 
и не имеющей углового коэффициента.
8. Напишите уравнения всех прямых, содержащих стороны правильного шестиугольника 
, если сторона шестиугольника равна а, а система координат 
выбрана так, что начало О совпадает с точкой А, точка В лежит на положительном луче оси и точка Е – на положительном луче оси .
9. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку 
и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12. Система координат прямоугольная декартова.
10. Можно ли пользоваться уравнениями (10)-(17) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и почему?
Общее уравнение прямой и его частные случаи
Докажем следующую теорему об общем уравнении прямой:
Теорема 1. Любая прямая на плоскости задается в аффинной системе координат уравнением первой степени с двумя неизвестными 
, где А и В не равны 0 одновременно. Обратно, линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (где А и В не равны 0 одновременно), есть прямая. Вектор 
является направляющим вектором этой прямой.
|
|
|
□ Пусть 
- прямая, 
. Запишем каноническое уравнение прямой :
.
Преобразуем его: 
.
Положим 
. Тогда уравнение прямой имеет вид:
.
Так как 
(по определению), то 
и 
не равны 0 одновременно, следовательно, А и В не равны 0 одновременно.
Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая линия задана в аффинной системе координат на плоскости уравнением , где 
. Докажем, что - прямая.
Найдем уравнение прямой 
, заданной точкой 
и направляющим вектором 
, где А, В и С взяты из уравнения линии :
.
Преобразуем это уравнение: 
. Итак, 
, причем , т.к. 
.
Уравнение прямой в точности совпадает с уравнением линии , следовательно, совпадает с , т.е. есть прямая.
Так как вектор является направляющим вектором прямой , а совпадает с , то - направляющий вектор прямой . ■
Уравнение называется общим уравнением прямой;
х и у – текущие координаты произвольной точки прямой.
Частные случаи общего уравнения прямой
Выясним особенности расположения прямой относительно аффинной системы координат , если некоторые из чисел А, В и С равны нулю.
1) Пусть С =0. Тогда уравнение прямой примет вид: 
. Подставляя координаты точки 
в это уравнение, убеждаемся, что получается верное равенство
,
следовательно, 
, т.е. прямая проходит через начало координат.
Обратно, пусть 
. Тогда 
.
Итак, 
.
2) Пусть 
. Тогда 
. Учитывая, что 
, получаем, что 
.
Обратно, если , то 
.
Итак, 
.
При этом уравнение имеет вид 
или 
(где 
).
3) Утверждение «
» предлагаем читателю доказать самостоятельно.
Из пунктов 1) и 2) следует пункт
4) А =0 и С =0 
совпадает с осью 
. В этом случае прямая (т.е. ось ) задается уравнением 
.
|
|
|
Из пунктов 1) и 3) следует пункт
5) В =0 и С =0 совпадает с осью 
. В этом случае прямая (т.е. ось 
) задается уравнением 
.
|
|
|
