 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
1. Можно ли пользоваться уравнениями (28)-(30) в прямоугольной декартовой системе координат 
в пространстве и почему?
2. Найдите тремя способами уравнение каждой из осей 
и 
аффинной системы координат 
(каноническое, параметрическое уравнения и уравнение оси как линии пересечения координатных плоскостей).
3. Дано каноническое уравнение прямой 
. Приведите его к виду (33).
4. Дано параметрическое уравнение (32) прямой 
. Приведите его к виду (33).
5. Дано уравнение (33) прямой . Получите из него каноническое и параметрическое уравнения прямой .
6. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно прямым 
и 
может быть представлено в следующем виде:
.
7. Докажите, что если две прямые 
и 
пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они лежат, может быть представлено в следующем виде:
.
8. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой 
может быть представлено в следующем виде:
.
Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых 
и 
в пространстве: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) совпадает с .
Пусть прямая задана точкой 
и направляющим вектором 
, - точкой 
и направляющим вектором 
. Тогда взаимное расположение двух прямых и можно определить по векторам 
и .
Замечание. Прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е. смешанное произведение 
.
Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве.
1) , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые (рис. 76). Следовательно,
|
|
|
.
2) Если прямые и пересекаются, т.е. , то они лежат в одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 77). Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 77 |
3) 
(рис. 78).
4) 
(рис. 79).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 78 |
| Рис. 79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Возможны три случая взаимного расположения прямой 
и плоскости 
в пространстве: 1) 
( пересекает плоскость в некоторой точке); 2) 
; 3) 
.
Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором 
, а плоскость - общим уравнением 
.
1) 
(по лемме о параллельности вектора и плоскости) (рис. 80). Итак,
.
Чтобы найти координаты точки 
пересечения и , надо решить систему уравнений прямой и плоскости .
|
|
|
|
|
|
| Рис. 81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 82 |
| Рис. 80 |
|
2) 
и 
(рис. 81), т.е.
3) 
и 
(рис. 82), т.е.
3. Связка прямых в пространстве.
Связкой прямых в пространстве с центром в точке называется множество всех прямых, проходящих через точку 
. Параметрическое уравнение связки прямых с центром имеет вид:
где 
- произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно.
4. Связка прямых и плоскостей.
Объединение связки прямых в пространстве с центром и связки плоскостей в пространстве с центром называется связкой прямых и плоскостей с центром .
Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть связка прямых с центром .
Задания для самостоятельной работы
1. Запишите в координатном виде условие того, что прямые 
и 
являются скрещивающимися.
2. Запишите в координатном виде условие того, что прямые и (см. задание 1) пересекаются.
|
|
|
3. Запишите в координатном виде условие параллельности прямых и (см. задание 1).
4. Запишите в координатном виде условие совпадения прямых и (см. задание 1).
5. Выясните взаимное расположение прямой 
и оси: а) 
; б) 
; в) 
аффинной системы координат .
6. Выясните взаимное расположение прямой 
и координатной плоскости: а) 
; б) 
; в) 
.
Основные метрические задачи
|
|
|
