 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
1. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду:
а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
|
2. Дано каноническое уравнение эллипса. Найдите большую и малую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки 
, эксцентриситет, уравнения директрис:
а)  ;
|
б)  .
|
3. Постройте изображение эллипса, его фокусов и директрис:
а)  ;
| б)  .
|
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек 
и 
равно длине данного отрезка 
, где 
.
Коротко можно записать определение гиперболы 
так:
. (39)
Точки и называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.
Если - точка данной гиперболы, то отрезки 
и 
(а также их длины) называются фокальными радиусами точки .
|
|
|
|
|
| Рис. 90 |
и . Обозначим через 
середину отрезка 
. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат 
, где 
(рис. 90).
Выведем уравнение гиперболы с фокусами и в системе координат .
Пусть 
.
Замечание. Так как , то для гиперболы всегда 
, т.е.
.
Пусть 
. Так как 
в , то
.
По определению гиперболы 
. Преобразуем это уравнение:
;
;
;
;
;
.
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
;
;
.
Разделим обе части этого уравнения на 
:
.
Так как для гиперболы 
, то 
. Положим 
. Тогда
, где 
. (40)
Итак, доказано, что если 
, то координаты точки удовлетворяют уравнению (40).
Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (40), то она принадлежит гиперболе .
|
|
|
Пусть 
, где 
, 
- координаты точки .
Найдем 
. Выразим 
из уравнения 
:
.
Найдем 
.
Аналогично 
.
| при при |
Тогда 
.
Из условия (39) следует, что .
Итак, уравнение (40) есть уравнение гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Пользуясь каноническим уравнением гиперболы, докажем геометрические свойства гиперболы, которые понадобятся для построения изображения гиперболы.
Свойства гиперболы
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 91 |
|
|
1°. Из уравнения (40) следует, что 
или 
. Следовательно, все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми 
и 
(рис. 91).
2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.
Пусть 
и 
. Из первого тождества следует, что 
, из второго – что 
, из третьего – что 
, а это означает, что гипербола симметрична относительно начала координат, оси 
и оси 
соответственно. Таким образом, точка 
является центром симметрии, оси и - осями симметрии гиперболы .
Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы.
3°. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии.
Чтобы найти точки пересечения гиперболы с осью , надо решить систему их уравнений: 
Решая систему, получаем: 
.
Аналогично находим, что 
.
Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины.
Отрезки 
и 
называются соответственно действительной и мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа 
и 
- действительной и мнимой «полуосями» гиперболы.
4°. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой 
.
Для этого решим систему 
Получаем уравнение 
. Корни 
- это абсциссы точки пересечения прямой 
с . Рассмотрим три случая:
1) Если 
, т.е. 
, то и имеют две общие точки;
|
|
|
2) Если 
, т.е. 
, то 
;
3)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 92 |
|
|
|
|
, т.е. 
, то .
Следовательно, все точки гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92). Гипербола имеет две ветви.
Случаю 3) соответствуют две прямые 
и 
с угловыми коэффи-
циентами 
и 
. Эти прямые (
и 
) называются асимптотами гиперболы.
При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки гиперболы точка неограниченно приближается к асимптоте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 93 |
|
|
|
|
Число 
называется эксцентриситетом гиперболы. Так как для гиперболы 
, то 
. Чем больше 
, тем больше гипербола «вытянута» вдоль мнимой оси.
Гипербола, у которой 
, называется равносторонней. Ее каноническое уравнение 
. Уравнения ее асимптот 
.
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии 
.
Уравнения директрис:
или 
;
или 
(рис. 94).
Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.
(рис. 94).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой.
Гипербола 
называется сопряженной к гиперболе . Ее мнимой осью является ось (на рис. 94 она изображена пунктиром).
|
|
|
