Различные уравнения прямой

 

 

Говорят, что уравнение  есть уравнение линии , если выполняются два условия:

1) если точка  принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ;

2) если координаты точки  удовлетворяют уравнению , то .

Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2^*):

2^*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению .

Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где  - многочлен от переменных  и , т.е. сумма членов вида , .

Число  называется степенью члена , где .

Наивысшая степень членов многочлена  называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена  равна 7.

Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена .

Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.

Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой  будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 54).

Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .

l

Рис. 54

Рис. 55

d

 

1. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая  задана точкой  и направляющим вектором  (рис. 55). Этот факт будем обозначать так: .

Если точка  принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 5⁰):

, если ;

, если ;

, если .

Если , то  || . Следовательно,

, если ;

, если ;

, если .

Итак, доказано, что точка  принадлежит прямой  тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

                                (если );                       (10)

                                 (если );                                (11)

                                 (если ).                                   (12)

Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

 В уравнениях (10)-(12)  - координаты фиксированной точки  прямой ;  - координаты направляющего вектора прямой ;  - текущие координаты произвольной точки прямой .

2. Параметрическое уравнение прямой.

Пусть прямая  задана точкой  и направляющим вектором .

 (рис. 54)  (по теореме о коллинеарных векторах).

Записывая это условие в координатном виде, получаем:

                                 или                                               (13)

 

Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число  называется параметром. Геометрический смысл параметра  состоит в следующем: для любой точки  существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно,  и .

 

3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть  (рис. 56). Тогда в качестве направляющего вектора прямой  можно взять вектор , т.е.

Рис. 56

.

Таким образом, прямая  задана точкой  и направляющим вектором . Применяем каноническое уравнение прямой (10) (см. пункт 1):

                                                                                                                 (14)

 

Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками  и .

Заметим, что если  или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.

4. Уравнение прямой в «отрезках».

О

y

d

x

Рис. 57

Пусть прямая  пересекает ось  аффинной системы координат  в точке , ось  - в точке , где  (рис. 57).

Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:

;

; ,

откуда получаем уравнение:

                                                                                                       (15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».

Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой  с осью , в – ордината точки пересечения прямой  с осью  аффинной системы координат.

5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

О

y

d

x

Рис. 58

М0

Пусть  - прямая, не параллельная оси  (рис. 58),  - направляющий вектор прямой . Так как  || , а , то  || . Следовательно,  || . Поэтому  (см. условие коллинеарности векторов в координатах).

Число  называется угловым коэффициентом прямой .

Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).

О

y

d

x

Рис. 59

j

j

Замечание. Если прямая  задана в прямоугольной системе координат , то  имеет простой геометрический смысл: , где  - угол наклона прямой  к оси , т.е. направленный угол  (рис. 59).

 

Пусть прямая  задана точкой  и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой :

и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим:

                                                                                         (16)

Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

 

 

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть  - угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е.

                                                 .                                              (17)           

Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой  с осью .

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: