Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Порядка к каноническому виду

Понятие о классификации линий второго порядка

Уравнение

, (43)

где не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.

Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).

Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.

Справедлива

Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.

В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:

Название линии второго порядка

Каноническое уравнение

1. Эллипс 2. Гипербола 3. Парабола 4. Мнимый эллипс 5. Пара пересекающихся прямых 6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых

или

Задания для самостоятельной работы

1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2. Определите тип линии второго порядка:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Приведение общего уравнения линии второго порядка

К каноническому виду

По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.

Итак, пусть линия второго порядка задана в системе общим уравнением .

Если , то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа:

I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота находят следующим образом:

Тогда координаты координатных векторов и в системе будут находиться так:

. (44)

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

(45)

Подставляем и из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член . Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат .

II этап. Выделяем полные квадраты при и и совершаем перенос начала в точку по формулам

(46)

Координаты точки вычислены в системе .

Подставляем из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид.

Строим старую систему координат , промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе .

Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:

1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.

2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.

3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.

Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Привести общее уравнение линии к каноническому виду, определить вид линии и построить ее изображение.

Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим .

Найдем угол поворота координатных осей:

Находим координаты координатных векторов и в системе координат :

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

Подставляем и из полученных формул в общее уравнение линии :

После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат :

II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и :

Положим

тогда получаем формулы переноса начала:

При этом точка переходит в точку , координаты которой найдены в системе .

Линия в системе будет иметь уравнение

Приведем это уравнение к каноническому виду:

Следовательно, - гипербола с мнимой осью .

Последовательность построения изображения гиперболы такова:

а) Строим старую систему координат .

б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов и на угол , построим сначала вспомогательные векторы и , которые будут коллинеарны векторам и соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами и (рис. 98). Тогда единичные векторы и будут сонаправлены с векторами и , а оси координат и пройдут через точку и точки и соответственно (рис. 98).