 |
В аффинной системе координат
|
|
|
|
Плоскость 
в пространстве можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей (или принадлежащими ей) или тремя точками, не лежащими на одной прямой. В первом случае этот факт будем обозначать так: 
; во втором – 
.
Пусть в пространстве дана аффинная система координат 
.
1. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами.
Пусть 
, 
|| 
(рис. 66), 
в системе .
тогда и только тогда, когда векторы 
и 
компланарны, т.е. их смешанное произведение 
. Переходя к координатам, получим уравнение:
. (20)
|
|
|
|
|
| Рис. 66 |
, то ее координаты удовлетворяют уравнению (20). Если 
, то векторы и некомпланарны, следовательно, координаты точки 
не удовлетворяют уравнению (20). Таким образом, уравнение (20) есть уравнение плоскости . Оно называется
уравнением плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами и .
2. Параметрическое уравнение плоскости.
Пусть , .
тогда и только тогда, когда векторы и компланарны. По теореме о компланарных векторах 
. Переходя к координатам, получаем: 
или
(21)
Система уравнений (21) называется параметрическим уравнением плоскости.
Действительные числа u и v называются параметрами.
Геометрический смысл параметров u и v: для любой точки существует единственная пара параметров 
, удовлетворяющих уравнениям (21), и обратно, 
и 
.
3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.
Пусть 
не лежат на одной прямой, 
, 
, 
.
|
|
|
|
|
| Рис. 67 |
, 
и 
не лежат на одной прямой, то 
|| 
(рис. 67). Следовательно, плоскость можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами и 
: 
. Применяя уравнение (20), получаем:|
|
|
. (22)
Уравнение (22) называется уравнением плоскости, заданной тремя точками 
.
4. Уравнение плоскости «в отрезках».
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 68 |
, 
, 
(рис. 68), где 
.
Используя уравнение (22), получим:
;
т.е. 
.
Раскроем определитель, стоящий в левой части, и преобразуем это выражение:
; 
; разделим обе части этого уравнения на 
: 
, откуда получаем уравнение:
. (23)
Уравнение (23) называется уравнением плоскости «в отрезках».
Геометрический смысл а, в и с: а – это абсцисса точки пересечения плоскости с осью 
, в – ордината точки пересечения с осью 
, с - аппликата точки пересечения с осью 
аффинной системы координат.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите уравнения координатных плоскостей 
аффинной системы координат 
.
2. Могут ли числа а, в и с в уравнении плоскости «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно (или два) равняться 0? Почему?
3. Какое из следующих уравнений является уравнением плоскости «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
|
4. Можно ли пользоваться уравнениями плоскости (20)-(23) в прямоугольной декартовой системе координат и почему?
Общее уравнение плоскости
Теорема 1. Плоскость есть поверхность первого порядка, т.е. задается в аффинной системе координат уравнением первой степени 
, где 
не равны нулю одновременно. Обратно, поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (где не равны нулю одновременно), есть плоскость.
|
|
|
□ Пусть плоскость задана точкой 
и двумя неколлинеарными векторами 
и 
, т.е. . Найдем ее уравнение.
; 
;
.
Положим 
, 
, 
, 
. Тогда 
.
Так как векторы 
и 
неколлинеарны, то их соответствующие координаты не пропорциональны, следовательно, 
, 
и 
одновременно, т.е. 
одновременно.
Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая поверхность 
задана уравнением , где не равны нулю одновременно. Докажем, что - плоскость.
Пусть для определенности 
. Найдем уравнение плоскости , заданной точкой 
и двумя неколлинеарными векторами 
и 
.
;
; 
; разделив обе части полученного уравнения на , получим:
.
Итак, уравнение поверхности в точности совпадает с уравнением плоскости , следовательно, совпадает с , т.е. - плоскость.
Если 
, то 
или 
. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что - плоскость. ■
Уравнение (где не равны нулю одновременно) называется общим уравнением плоскости. Переменные х, у, z называются текущими координатами произвольной точки плоскости.
|
|
|
