Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

На прямые и плоскости в пространстве

 

 

1. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Возьмем в пространстве две непараллельные прямые  и . Тогда  и  являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если  и  пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между  и  называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.

 Рис. 83
Пусть  и  являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве произвольную точку  и проведем через нее прямые  и  (рис. 83). Прямые  и  образуют четыре угла с вершиной . Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми  и .

 

 

Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми  и . Пусть  и  - направляющие векторы прямых  и  соответственно. Возможны два случая:

а) Если , то . Тогда .

б) Если , то . Тогда .

Из пунктов а), б) следует, что . Таким образом,

                                      .                               (35)

2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Из формулы (35) получаем:

.

Итак,

(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).

Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Рис. 84
Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если  не перпендикулярна , то углом между прямой  и плоскостью  называется острый угол между прямой  и ее проекцией на плоскость  (рис. 84).

 

Если , то угол между  и  считается равным .

Пусть  и  не перпендикулярна ,  - направляющий вектор прямой , а плоскость  задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением . Найдем величину угла  между прямой  и плоскостью . Положим .

Возможны два случая:

а) Если  (рис. 85, а), то .

б) Если  (рис. 85, б), то

а)
б)
Рис. 85
.

 

 

 

Из пунктов а), б) следует, что . Учитывая, что , получаем:

.                   (36)

Заметим, что если , то , тогда  (соответственные координаты коллинеарных векторов пропорциональны). Тогда левая часть формулы (36) будет равна:

,

а правая – .

Таким образом, если , то формула (36) также справедлива.

4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

. Применяя условие коллинеарности двух векторов в координатах, получим:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Укажите на чертеже угол между ребром  куба  и диагональю  его грани ; угол между ребрами  и .

2. Вычислите величину угла между прямой  и осью абсцисс прямоугольной декартовой системы координат .

3.  – середина ребра  куба . Укажите на чертеже угол между прямой  и плоскостью  нижнего основания куба.

4. Вычислите величину угла между прямой  и координатной плоскостью  прямоугольной декартовой системы координат .

5. Выясните, будет ли прямая  перпендикулярна плоскости  прямоугольной декартовой системы координат .

 

Раздел 1_8 - Линии второго порядка

Лекция 14

Эллипс. Гипербола. Парабола

 

Эллипс

 

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек  и  равна длине данного отрезка , где .

Коротко можно записать определение эллипса  так:

.                                                         (37)

Точки  и  называются фокусами эллипса, а расстояние между ними - фо­кальным расстоянием.

Если  - точка данного эллипса, то отрезки  и  (а также их длины) называются фокальными радиусами точки .

Рис. 86
Пусть на плоскости даны две различные точки  и . Обозначим через  се­редину отрезка . Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат , где  (рис. 86).

Выведем уравнение эллипса  с фо­кусами  и  в системе координат .

Пусть .

Замечание. Так как , то для эллипса всегда , т.е.

.

Пусть . Так как  в , то

.

По определению эллипса . Преобразуем это уравнение:

;

;

;

;

;

;

.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

;

;

.

Разделим обе части этого уравнения на :

.

Так как для эллипса , то . Положим . Тогда

                                      , где .                                    (38)

Итак, доказано, что если , то координаты точки  удовлетворяют урав­нению (38).

Докажем, что если координаты точки  удовлетворяют уравнению (38), то она принадлежит эллипсу .

Пусть , где ,  - координаты точки .

Найдем . Выразим  из уравне­ния :

.

Тогда, учитывая, что , получим:

.

 и  и  и . Из условия (37) следует, что .

Итак, уравнение (38) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Если , то , т.е.  - уравнение окружности радиуса .

Пользуясь каноническим уравнением эллипса, докажем геометрические свойства эллипса, которые понадобятся для построения изображения эллипса.

 

Свойства эллипса

Рис. 87
1°. Из уравнения (38) следует, что , . Следовательно, все точки эл­липса принадлежат прямоугольнику, центр которого находится в точке , стороны параллельны осям  и  и равны соответственно  и  (рис. 87).

2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.

Пусть  и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что эллипс  симметричен относительно начала координат, оси  и оси  соответственно. Таким образом, точка   является центром симметрии, оси  и  - осями симметрии эллипса .

Прямая, проходящая через фокусы, называется первой (фокальной) осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии эллипса.

3°. Точки пересечения эллипса с осями симметрии.

Чтобы найти точки пересечения эллипса  с осью , надо решить систему их уравнений:

Решая систему, получаем: .

Аналогично находим, что .

Точки пересечения эллипса со своими осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины.

Отрезки  и  называются соответственно большой и малой «осями» эллипса, а положительные числа  и  - большой и малой «полуосями» эллипса.

4°. Выясним, как выглядит часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти.

Возьмем в первой координатной четверти произвольную точку , тогда . Следовательно, функция  монотонно убывает от  до 0, если  возрастает от 0 до .

Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение эллипса (рис. 88):

Рис. 88

 


Число  называется эксцентриситетом эллипса. Так как для эллипса , то . У окружности . При  уменьшается «высота» эллипса.

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Уравнения директрис:

 или ;

 или  (рис. 89).

У окружности , следовательно, она не имеет директрис.

Эллипс обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей эллипсу, отношение расстояния от  до фокуса к расстоянию от  до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

 (рис. 89).

 

 

Рис. 89

 


 
Замечание 1. Так как , то . В случае, когда , фокусы эллипса будут лежать на оси , а директрисы будут параллельны оси .

Замечание 2. Директрисы эллипса не имеют общих точек с эллипсом.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...