Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

На прямые и плоскости в пространстве

1. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Возьмем в пространстве две непараллельные прямые и . Тогда и являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если и пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между и называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.

Рис. 83

Пусть

являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве произвольную точку

и проведем через нее прямые

(рис. 83). Прямые

образуют четыре угла с вершиной

. Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми и .

Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми и . Пусть и - направляющие векторы прямых и соответственно. Возможны два случая:

а) Если , то . Тогда .

б) Если , то . Тогда .

Из пунктов а), б) следует, что . Таким образом,

. (35)

2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Из формулы (35) получаем:

Итак,

(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).

Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Рис. 84

Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если не перпендикулярна , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 84).

Если , то угол между и считается равным .

Пусть и не перпендикулярна , - направляющий вектор прямой , а плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением . Найдем величину угла между прямой и плоскостью . Положим .

Возможны два случая:

а) Если (рис. 85, а), то .

б) Если (рис. 85, б), то

а)

б)

Рис. 85

Из пунктов а), б) следует, что . Учитывая, что , получаем:

. (36)

Заметим, что если , то , тогда (соответственные координаты коллинеарных векторов пропорциональны). Тогда левая часть формулы (36) будет равна:

а правая – .

Таким образом, если , то формула (36) также справедлива.

4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

. Применяя условие коллинеарности двух векторов в координатах, получим:

Задания для самостоятельной работы

1. Укажите на чертеже угол между ребром куба и диагональю его грани ; угол между ребрами и .

2. Вычислите величину угла между прямой и осью абсцисс прямоугольной декартовой системы координат .

3. – середина ребра куба . Укажите на чертеже угол между прямой и плоскостью нижнего основания куба.

4. Вычислите величину угла между прямой и координатной плоскостью прямоугольной декартовой системы координат .

5. Выясните, будет ли прямая перпендикулярна плоскости прямоугольной декартовой системы координат .

Раздел 1_8 - Линии второго порядка

Лекция 14

Эллипс. Гипербола. Парабола

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек и равна длине данного отрезка , где .

Коротко можно записать определение эллипса так:

. (37)

Точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.

Если - точка данного эллипса, то отрезки и (а также их длины) называются фокальными радиусами точки .

Рис. 86

Пусть на плоскости даны две различные точки

. Обозначим через

середину отрезка

. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

, где

(рис. 86).

Выведем уравнение эллипса с фокусами и в системе координат .

Пусть .

Замечание. Так как , то для эллипса всегда , т.е.

Пусть . Так как в , то

По определению эллипса . Преобразуем это уравнение:

;

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

;

Разделим обе части этого уравнения на :

Так как для эллипса , то . Положим . Тогда

, где . (38)

Итак, доказано, что если , то координаты точки удовлетворяют уравнению (38).

Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (38), то она принадлежит эллипсу .

Пусть , где , - координаты точки .

Найдем . Выразим из уравнения :

Тогда, учитывая, что , получим:

и и и . Из условия (37) следует, что .

Итак, уравнение (38) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Если , то , т.е. - уравнение окружности радиуса .

Пользуясь каноническим уравнением эллипса, докажем геометрические свойства эллипса, которые понадобятся для построения изображения эллипса.

Свойства эллипса

Рис. 87

1°. Из уравнения (38) следует, что

. Следовательно, все точки эллипса принадлежат прямоугольнику, центр которого находится в точке

, стороны параллельны осям

и равны соответственно

(рис. 87).

2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.

Пусть и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что эллипс симметричен относительно начала координат, оси и оси соответственно. Таким образом, точка является центром симметрии, оси и - осями симметрии эллипса .

Прямая, проходящая через фокусы, называется первой (фокальной) осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии эллипса.

3°. Точки пересечения эллипса с осями симметрии.

Чтобы найти точки пересечения эллипса с осью , надо решить систему их уравнений:

Решая систему, получаем: .

Аналогично находим, что .

Точки пересечения эллипса со своими осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины.

Отрезки и называются соответственно большой и малой «осями» эллипса, а положительные числа и - большой и малой «полуосями» эллипса.

4°. Выясним, как выглядит часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти.

Возьмем в первой координатной четверти произвольную точку , тогда . Следовательно, функция монотонно убывает от до 0, если возрастает от 0 до .

Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение эллипса (рис. 88):

Рис. 88

Число называется эксцентриситетом эллипса. Так как для эллипса , то . У окружности . При уменьшается «высота» эллипса.

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Уравнения директрис:

или ;

или (рис. 89).

У окружности , следовательно, она не имеет директрис.

Эллипс обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей эллипсу, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

(рис. 89).