Принципы многомерного сравнения объектов

Рассмотрим два объекта e_i и e_j и оценим принципы, которые позволят обоснованно утверждать, что один из них предпочтительнее другого.

Очевидно, что если существует такой объект e_i, для которого оценка αk_i для любого k больше, либо равна соответствующей оценке αk_j объекта e_j, то тогда, безусловно, можно утверждать, что e_i предпочтительнее e_j.

Если же оценки объектов по разным критериям противоречивы, то для осуществления процедуры сравнения таких объектов необходимо все множество критериев К разделить на два подмножества: C_ij – множество критериев, согласно которым e_i, по крайней мере, не хуже, чем e_j; Д_ij – множество критериев, для которых это утверждение не выполняется.

Показатели соответствия. Очевидно, что чем больше число критериев входят в C_ij, тем более обоснованно принять предположение, что e_i предпочтительнее e_j. Кроме того, необходимо учесть различную важность, значимость критериев, определяемую коэффициентами π_k. Поэтому для оценки степени соответствия различных критериев нашей гипотезе, вводится показатель соответствия c_ij, определяемый как

Этот показатель обладает следующими свойствами:

1. 0 ≤ c_ij ≤ 1

2. c_ij = 1, если α^k_i ≥ αk_j, k = 1, 2…K

Показатель соответствия рассчитывается для каждой пары объектов e_i и e_j. Результаты таких расчетов могут быть представлены в матрице nxn, каждый элемент которой c_ij есть показатель соответствия предположению, что объект e_i предпочтительнее объекта e_j. Легко видеть, что такая матрица, как правило, не симметрична. Элементы c_ii не имеют смысла в данной задаче, а потому в таблицу не вносятся.

Показатели несоответствия. Для осуществления процедуры сравнения необходимо учесть и критерии, противоречащие введенному предложению, что объект e_i, по крайней мере, не хуже объекта e_j. С этой целью рассчитывается так называемый показатель несоответствия d_ij(s). Для его получения необходимо:

а)    вычислить разности между оценками объектов α^k_i и αk_j для k ϵ Д_ij и упорядочить полученные отклонения в невозрастающую последовательность;

б)    определить показатель несоответствия d_ij(s) как s-ый член построенной последовательности, нормированный по высоте самой большой шкалы.

Нормирование осуществляется с целью учета относительной значимости принимаемых во внимание критериев, так как высота шкалы (разность между высшей и низшей оценками) является неубывающей функцией коэффициента значимости критерия π_k.

Очевидно, что такое определение показателя несоответствия, например, для s=2, эквивалентно исключению из рассмотрения критерия с самым большим несоответствием, для s= 3 – исключению двух критериев c наибольшими несоответствиями и т.д., как бы ни было велико это несоответствие.

Значения показателей несоответствия для всех пар (e_i, e_j)могут быть представлены в таблице Д (s).

Сформулируем принцип сравнения объектов по нескольким критериям.

Фиксируем значение параметра s, затем задаем два числа С (порог соответствия) и d (порог несоответствия) и говорим, что согласно К критериев и порогов с и d объект e_i предпочтительнее объекта e_j, если и только если пара (e_i, e_j) приводит к показателю соответствия c_ij ≥ с и показателю несоответствия d_ij ≤ d.

Предпочтение, определенное таким образом, удобно представлять в виде графа:

G (c, d, s) = [E, U (c, d, s)],

где: E – множество вершин графа, соответствующее множеству рассматриваемых объектов; U (c, d, s) – множество дуг графа, дуга (e_i, e_j) ϵ U (c, d, s) ↔ c_ij ≥ с и d_ij (s) ≤ d.

Очевидно, что чем меньше требования к значениям с и d, тем более соответствующий граф богат дугами. Однако сравнение и выбор, проводимые на основе очень слабых требований к с и d, могут не отражать реальную ситуацию выбора. Поэтому необходимо последовательно и постепенно ослаблять требования к параметрам с, d, s и анализировать возникающие связи.

Таким образом, для каждой тройки (c, d, s) мы можем построить G (c, d, s) = [E, U (c, d, s)], при этом множество вершин графа Е может быть разделено на два непересекающиеся подмножества E’и E-E’.

Подмножество E’таково, что всякий элемент, не включенный в E’, будет превзойден, по крайней мере, одним элементом, принадлежащим E’. Это свойство называется свойством внешней стабильности подмножества E’. Другое свойство этого множества E’– свойство внутренней стабильности означает, что никакой элемент E’ не превосходит другого элемента E’, т.е. элементы E’несравнимы между собой при заданных c, d, s.

Подмножество вершин графа, которое обладает этими двумя свойствами, носит название ядра графа. Можно доказать, что граф, не имеющий циклов, имеет ядро, причем единственное.

Естественно предположить, что наличие цикла в графе указывает на эквивалентность объектов, составляющих этот цикл.

Таким образом, всегда можно выделить ядро E’ графа G (c, d, s). Подмножество E’ может иметь различное число элементов. Если для заданных параметров c, d, s ядро включает очень много элементов – это означает, что антагонизм критериев таков, что не позволяет осуществить достаточное сравнение объектов при этих параметрах. Уменьшение требовательности к порогам с и d сократит число элементов E’ и, наоборот, усиление требований к ним влечет за собой обогащение E’.

Таким образом, в результате исследования поведения графов и их ядер в зависимости от изменения параметров c, d, s можно предложить ответственному за решение небольшое подмножество объектов-кандидатов, рассматривая которые он может осуществить выбор, так как самый хороший объект, наверняка, находится в нем. Выбор среди элементов E’ может быть осуществлен на основании дополнительных критериев, экспериментов, расчетов, проведение которых для всех объектов E может быть по каким-то причинам нерациональным – слишком дорого, слишком долго и т.д. Таким обрезом, метод позволяет формализовать выбор одного объекта среди многих.

Кроме того, исследование поведения графов и их ядер с изменением с, d и s позволяет установить некоторую классификацию, упорядочивая объекты множества Е в последовательность, благодаря которой каждый объект может быть сравним с другим по своей позиции в этой последовательности. Исследование таблиц С и Д (s) помогут определить, какие из сравниваемых объектов являются «близкими», можно выделить из них почти эквивалентные, образующие циклы и т.п.