Расстоянием от точки до плоскости называется

Инструкционная карта

ПР №1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

- какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

-

С

уголмежду наклонной и плоскостьюα.

А

С

В

α

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ² = ВС² + АС².

О

… - уголмежду наклонной и плоскостьюα.

б) Перепишите и заполните пропуски:

А

В

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 – х,

АС²– АО² = ВС² – ОВ², 10²–х² = 18² – (16 – х)², 100 – х² = 324 – 256 + 32 х – х²,

32 х = 32, х = …, АО = 1, ОВ = 16 – 1 =.... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60^°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см, _Ð САО = 60°, ОВ = 6 см, 

Найти: СВ

Решение: ΔАОС- прямоугольный, _ÐАСО = 90 ^°– 60 ^° = 30^°, АО = СА: 2 = 12: 2 = …,

СО² = СА² –АО² = 12² – 6² = 144 – 36 = …,

 СВ² = СО² + ОВ² = 108 + (6 )² = 108 + 36  6 = 108 + 216 = …, СВ = …  см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости a проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью a угол 60^°. Угол между наклонными 120^°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, _ÐСАО = _ÐСВО = 60^°, _Ð АСВ = 120^°,

Найти: АВ
Решение: sin _Ð САО = СО: АС, АС = ВС = СО: sin _Ð САО = 6: sin60 ^° = 6:  = 12:  = 4  ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ² = АС² + ВС² – 2 АС ВС cos _Ð АСВ =

= (4 )² + (4 )² – 2 4 cos 120^° = 16  3 + 16  3 - 2 16  3 (– ) = 48 + 48 + 48 = …,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости a проведены перпендикуляр СО и две наклонные                СВ и АС. ОВ= 4, _Ð САО = 30°, _Ð СВО = 60^°, а угол между наклонными 90^°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,_ÐСАО = 30^°, _ÐСВО = 60^°, _ÐАСВ = 90^°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, _ÐСВО = 60^°, _Ð ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30^°, 

ВС= 2   ОВ = 2 4 = …, СО² = ВС² – ОВ² = 8² – 4² = 64 – 16 = …, СО =  = 4 ,

АС = 2  СО = 2 4   = …  , ΔАСВ - прямоугольный, АВ² = АС² + ВС² = (8 )² + 8² =

 = 64 3 + 64 = …, АВ = …  см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.

 

М

Из точки О проведён к плоскости

D

квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

С

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

А

К

О

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см. 

В

Найти: МК

Решение: ОК = АВ: 2 = AD: 2 = 6: 2 = …, ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК² = ОМ² + ОК² = 4² + 3² = 16 + 9 = …, МК =...       Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС² = СВ² – АВ², АС² = 7² – 3² = 49 – 9 = …,

Δ САD – прямоугольный, СD² = АС² + АD², СD² = 40 + 1,5² = 40 + 2,25 = …,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D_1, у которого основание квадрат.

Докажите, чтоа) СD⊥ В₁С₁,б) С₁D₁ ⊥ АD. 

Доказательство: а) СD || A₁B₁, A₁B₁⊥В₁С₁ СD… В₁С₁ (по лемме),

б) С₁D₁ || ВС_, ВС⊥ АD С₁D₁ … АD(по лемме).

2) Решить задачи (по примерам):

1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
Найти проекцию каждой наклонной.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60^°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

3. Из точки С к данной плоскости a проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью a угол 60^°. Угол между наклонными 120^°.
Найти расстояние между основаниями наклонных.

4. Из точки С к данной плоскости a проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
ОВ= 8, _Ð САО = 30^°, _Ð СВО = 60^°, а угол между наклонными 90^°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

7. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D_1, у которого основание квадрат.
Докажите, чтоа) С₁D₁⊥ ВС, б) СD⊥ А₁D₁. 

3) Решить задачи:

1. Дано: АС- перпендикуляр,АВ - наклонная,
а) АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС =?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ =? (Указание: АВ² = ВС² + АС²)

2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК⊥(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
КМ ⊥ ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС =>Δ СКВ – равнобедренный, КМ ⊥ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС: 2, КС² = АК² + АС², КМ² = КС² - МС², АМ² = АС² - МС²)

3. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, _Ð ОАВ = _Ð ВАС = 60°,
АО = 2,5 см. Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB= 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK² = AB² - BK ²)

5. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В₁С, б) АDD₁В,
в) А₁ВВ₁К, где К- середина А₁D₁.

6. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3  см.

7. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

 

Инструкционная карта

ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D_1, у которого основание квадрат. Докажите, чтоа) СD⊥В₁С₁, б) С₁D₁ ⊥ АD. 

Доказательство: а) СD || A₁B₁, A₁B₁⊥В₁С₁ СD⊥В₁С₁(по лемме),

б) С₁D₁ ||ВС_, ВС⊥ АD С₁D₁ ⊥ АD(по лемме).

Пример 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если:АВ = 3 см, ВС =  7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, СD = 6,5 см, AD = 1,5 см; Найти: ВC

Решение:

Δ САD – прямоугольный, СD² = АС² + АD²,АС² = 6,5² –  1,5² = 42,25–  2,25 = …,

Δ САВ – прямоугольный, АС² = СВ² – АВ², ВС² = 40 + 3² = …, ВС = …

Ответ: ВС = 7 см.

Пример 3. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 ми отрезок АВ не пересекает плоскость α.

B

Дано: АС ⊥ α, BD ⊥α, АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м

Найти: AB

A

K

Решение: BK = BD – АС = 3 – 2 = 1,

Δ BKА – прямоугольный, AB² = АK² + BK ² = СD² + BK²,

AB² = 2,4² + 1² = 5,76 + 1 = …, AB=… м.

Ответ: AB= 2,6 м.

Пример 4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB= 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м,

Найти: CD

Решение: BK = BD – АС = 20 – 8 = …,

Δ BKА – прямоугольный,АK² = AB²– BK ² = 15²–   12² = 225 – 144 = …, АK = … см.

CD = АK =… см. Ответ: CD= 9 см.

М

Пример 5. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

С

Дано: Δ АВС, О – центр, вписанной в него окружности,

К

ОК = r = 0,7 м, ОМ ⊥(АВС), ОМ = 2,4 м,

О

Найти:  МК

В

А

Решение: ΔМОК - прямоугольный,

МК² = ОК² + ОМ² = 0,7² + 2,4² = 0,49 + 5,76 = …,МК = …м.

Ответ: МК= 2,5 м.

2)Задание:

1) Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D_1, у которого основание квадрат.

Докажите, чтоа) С₁D₁⊥ ВС, б) СD⊥ А₁D₁. 

2) Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если:                                                            АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

3) Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см,              BD = 20 см, CD = 5см и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

4) Телефонная проволока длиной 26 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 6 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 30 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

5) К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 1 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

3) Решение теста. Методические рекомендации к выполнению теста:

1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву, под которой записан правильный ответ.

2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

Расстоянием от точки до плоскости называется

а) длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

б) длина перпендикуляра, проведенного из плоскости к этой точке.

в)длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной

плоскости ко второй плоскости, на которой лежит эта точка.

г) расстояние от этой точки до любой из точек лежащих на плоскости.

Предыдущая1234567891011121314Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: