 |
Построение и чтение графиков.
|
|
|
|
Построение и чтение графиков должно опираться на множество практических навыков.
Приведем некоторые из рекомендованных правил при графической обработке данных и чтении графиков:
- во всякой диаграмме графический образ, как основной элемент, для которого существуют и которому подчинены все остальные элементы, должен быть в центре внимания пользователя;
- композиция диаграммы должна подчиняться правильному соотношению ее частей (согласованию их размеров, толщины, формы и положения);
- график должен быть достаточно четким, но наиболее важные его элементы должны выделяться на общем фоне в соответствии с их значением;
- вертикальную шкалу для кривой независимо от ее назначения желательно выбирать так, чтобы на диаграмме оказалась нулевая отметка;
- нулевые линии шкал для кривой следует резко отграничивать от других координатных линий;
- когда шкала относится к датам, а представляемый период является неполным, лучше не выделять первые и последние ординаты, так как подобная диаграмма не отмечает начало или конец времени;
- для кривых, которые имеют шкалу, изображающую проценты, желательно выделить каким-то образом линию 100% или другие линии, используемые в качестве основы для сравнения, а также обязательно показывать 0%;
- кривые линии диаграммы должны резко отличаться от прямых линий;
- для кривых, характеризующих группы наблюдений, рекомендуется по возможности ясно указывать на диаграмме все кривые, представляющие отдельные наблюдения;
- горизонтальную шкалу для кривых следует писать слева направо, а вертикальную - снизу вверх;
- рекомендуется показывать достаточный минимум координатных линий для облегчения чтения диаграммы;
|
|
|
- при необходимости желательно включать в график цифровые данные или формулы;
- на графиках при резких колебаниях кривых закраска полос неудобна;
- использование изображения линейных величин с помощью площадей или объемов некорректно, т.к. их не удастся правильно истолковать;
- характер координатной сетки должен быть разный в зависимости от назначения графического образа.
- название графика располагают под ним, хотя иногда его можно писать выше диаграммы, если она не предназначена для печати, например, в настенных графиках;
- наименования следует формулировать возможно яснее и полнее. Если требуется, необходимо дополнительно вводить подзаголовки или пояснения;
- общая структура графиков должна предполагать чтение слева направо;
- чтение графика следует начинать с заголовка, сообщающего, какие сведения можно из него получить. Затем надо уяснить строение графического образа и изучить специфику его элементов: шкалу, масштабы, единицы измерения, легенды и т.п., что необходимо для определения сообщаемой информации по частным вопросам. Нужно начинать восприятие графического образа как общего целого, т. е. во взаимоотношениях элементов. Затем надо увидеть выражаемое содержание графика, ясно представлять, чему соответствуют те или иные изменения графического образа.
Примеры графиков.
1) Оценка ущерба из-за загрязнения окружающей среды при производстве электроэнергии (ленточная диаграмма сравнения с логарифмической шкалой).
2) Структура потребления энергоресурсов по отраслям в Латвии (диаграмма сравнения).
3)Изменение количества несчастных случаев со смертельным исходом от поражения человека током в Австрии до и после введения закона об использовании УЗО (диаграмма динамики).
4) По графику найдите:
а)Какова область определения функции?
б)Назовите множество значений функции.
|
|
|
в)Назовите нули функции.
г) Назовите точки максимумов функции.
д)Назовите точки минимумов функции.
Ответ:
а) 
,б) 
,в) – 4, - 2,0,2,4
г) – 3;1, д) – 1;3
5) По графику выполните задание:
2) Решить задание:
1. По графику функции найдите:
а)Какова область определения функции?
б)Назовите множество значений функции.
в)Назовите нули функции.
г) Назовите точки максимумов функции.
д)Назовите точки минимумов функции.
2. Функция задана формулой 
. Найдите значение 
, при котором 
() =0.
3. Определите при каких значениях существует функция 
.
- Постройте график квадратичной функции и запишите ее свойства (область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности):
5. 
Определите при каких значениях существует функция 
.
6. По графику функции найдите:
а) множество значений функции;
б) значение аргумента при у 
(– 3; 2];
в) промежутки знакопостоянства функции;
г) точки экстремума функции.
7. По графику выполните задание:
8. Найдите область значения функции 
.
9. Функция задана формулой 
. Найдите 
(-5).
10. Функция задана формулой 
. Найдите (-3).
11. Функция задана формулой 
. Найдите значение , при котором () =0.
12. Для каждой функции, заданной формулой, укажите график.
1) у = х – 1 2) у = – х + 1 3) у = х2 – 1
а) б) в)
13. На рисунке изображен график функции у = х2 + х – 6. Используя график, решите неравенство х2 + х.
14. По графику функции у=–0,5х–2 найдите:
а) значение функции, если х=10; х=–12;
б) значение аргумента, если у=4; у=–5.
15. Постройте график функции у=2х+3
16. Постройте график функции:
.
17. Постройте график функции и запишите ее свойства (область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности):
18. По графику функции у = 
найдите:
а) значение у, если х=10;х=–8;
б) значение х, если у=11;у=–7.
19. Постройте график функции у = 
20. 
По графику функции у = 
найдите:
а) 
; 
;
б) значение аргумента, если у = 3; у = 1,5.
21. Проходит ли график функции у = 
через точки А(13; 196); В(7; 49); С(–10; 100).
|
|
|
22. С помощью графика функции у = 
сравните числа: а) 
и ; б) 
и. .
23. 
С помощью графика определите, сколько решений имеет система уравнений: 
24. Постройте график функции у=–х2 + 2х – 1
25. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x), заданных на промежутке [-9; 8]. Укажите те значения х, при которых выполняется неравенство f(x) <g(x).
Инструкционная карта
ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».
Задание:
1) Опорный конспект.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x соответствует определенное значение y.
Множество всех тех значений, которые принимает аргумент x функции y = f (x), называется областью определения этой функции.
Множество всех тех значений, которые принимает сама функция y = f (x), называется областью значений (изменения) этой функции.
Функция y = f (x) называется четной, если при всех значений x из области определения этой функции f (- x)= f (x).
Функция y = f (x) называется нечетной, если при всех значений x из области определения этой функции f (- x)= - f (x).
Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Функция y = f (x) называется периодической, с периодом T, где T ≠ 0, если значение функции не изменяется при прибавлении числа T к любому допустимому значению аргумента:
f (x + T)= f (x).
Функция y = f (x) называется ограниченной, если можно указать такое положительное число M, что 
для всех значений x из области определения функции. Если же точка M не существует, то функция называется неограниченной.
Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости,
координаты которых (x, f (x)). Функцию вида y = ax 2 + bx + c называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.
Точку с координатами (- b/2a, - (b2 – 4ac) / 4a) называют вершиной параболы.
Соответствие между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу множества X сопоставляется не более одного элемента Y, называется функцией.
|
|
|
Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:
множество X (которое называется областью определения функции);
множество Y (которое называется областью значений функции);
закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).
При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания.
Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается, исходя из данной формулы).
Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.
Опишем далее способы построения графиков функций.
1 способ «по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями.
2 способ «путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат». Чтобы построить график функции y = f (x) + c можно или график функции y = f (x) сдвинуть вдоль оси 0 y на c единиц в сторону, совпадающую со знаком c, или перенести параллельно ось 0 y в сторону, противоположную знаку c.
Чтобы построить график функции y = f (x + b), можно или график функции y = f (x) вдоль оси 0 x на b единиц в сторону, противоположную знаку b, или перенести параллельно ось 0 y в сторону, совпадающую со знаком b.
3 способ, «путем симметричного отображения относительно осей координат». Чтобы построить график функции y = - f (x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x) относительно оси абсцисс.
Чтобы построить график функции y = f (- x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x) относительно оси ординат.
4 способ, «путем деформирования графиков основных функций». Чтобы построить график функции y = af (x) при a > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси ординат, если a > 1 (0 < a < 1).
Чтобы построить график функции y = f (bx) при b > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси абсцисс, если b > 1 (0 < b < 1).
|
|
|
