Т Е С Т по теме «Перпендикулярность плоскостей».1 часть. 1 глава

1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то как расположена вторая прямая по отношению к третьей?

 а) параллельна;б) перпендикулярна; в) скрещивается; г) совпадают;

2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то как они расположены по отношению друг к другу?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются;  г) пересекаются;

3.Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то как расположена эта прямая по отношению к плоскости?

 а) параллельна плоскости; б) перпендикулярна к плоскости;в) лежит в плоскости;

4.Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Как расположены прямые а и b?

 а) параллельны;  б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

5.Сколько прямых, перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную точку пространства?

а) одна;  б) две; в) ни одной; г) бесконечное множество;

6.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то как  расположены такие плоскости?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

7.Сколько двугранных углов имеет параллелепипед?

а) четыре; б) восемь; в) десять; г) двенадцать;

8.Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

а) параллельна плоскости;      б) перпендикулярна к плоскости;

в) лежит в плоскости;               г) пересекает плоскость;

9.Каждая из плоскостей α и β перпендикулярна к плоскости γ. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) совпадают; г) скрещиваются;

10.Что больше: перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости или наклонная проведенная из той же точки к этой плоскости?

 а) перпендикуляр; б) наклонная; в) они равны;

2 часть.   

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

А) 2  см; Б) 5 см; В) 5  см; Г) другой ответ.

2. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

А) MA перпендикулярна BD;   В) MB перпендикулярна CB;

Б) MD перпендикулярна СD;   Г) MC перпендикулярна  СB.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 7 см и 9 см. А) 8 см; Б) 1 см;    

В) 4 см; Г) другой ответ.     

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 3 см, 15 см и 18 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α.А) 3    см; Б) 3 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β.
А)  см; В) 4 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

6. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Точка D – середина стороны ВС. Найдите длину АК, если ВС =  см, КD = 8 см.

 А) 14 см; В) 12 см;  В) 7 см; Г) другой ответ.

7. Расстояние от некоторой точки до плоскости прямоугольника равно  см, а до всех его вершин – 3 см. Найдите диагональ прямоугольника. А) 4 см; Б) 2 см; В) 5 см; Г) другой ответ.

8. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 4 см и 10 см.

 А) 7 см; Б) 3 см; В) 2 см; Г) другой ответ.     

9. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 19 см, 6 см и 16 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α. А) 23 см; Б) 11  см; В) 29 см; Г) другой ответ.

10. Точка А находится на расстоянии 2 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β. А)  см; В)  см; В) 3 см; Г) другой ответ.

11. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3  см.

А) 2 см; В) 3 см;  В) 4 см; Г) другой ответ.

Инструкционная карта

ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

^Ø А)Пример 1. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен MO/MK = 1/2,откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 ^°. Откуда KO / MK = cos 30^°, KO / 8 = cos 30^°,

KO = 8 cos 30^°.KO = 8 /2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника КО = r = a /6.

4 = a /6, a = 24.
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника: Sт = 1/2 24  8 = 12  8 = … см².
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды S = 3 Sт = 3  96 = … см².
Ответ: 288 см².

Пример 2. Дано:усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a ₁= 16 , a ₂= 10  . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Решение: r₁= a ₁ / 2 = 16 : 2 = 16: 2 = …, r₂= a ₂ / 2 = 10 : 2 = 10: 2 = …,

l ² = h² + (r₂   r₁)², l ² = 4² + (5 8)²  = 16 + 9 = …, l = …S_n = /4  (a ₁² +  a ₂²) + 1,5 l (a ₁ +  a ₂).

S_n = /4  ((16 )² + (10 )²) + 1,5 5 (16 + 10 ) = /4  (768 + 300) + 1,5 5  = =267   + 195 = … .

Ответ: 462

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a ₁= 16, a ₂= 8. Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Решение: r₁= a ₁ / 2 = 16: 2 = …, r₂= a ₂ / 2 = 8: 2 = …,

l ² = h² + (r₂  r₁)², l ² = 3² + (4  8)²  = 9 + 16 = …, l = ….

S_n = (a ₁² +  a ₂²) + 2 l (a ₁ +  a ₂).S_n = (16² + 8²) + 2 5 (16 + 8) = 320 + 240 = ….

Ответ: 560

Пример 4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a ₁= 2, a ₂= 6. Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Решение: r₁= a ₁ / 2 = 2: 2 = , r₂= a ₂ / 2 = 6: 2 = 3 ,

l ² = h² + (r₂ r₁)², l ² = 2² + ()²  = 4 + 12 = …, l = ….

S_n =3 /2  (a ₁² +  a ₂²) + 3 l (a ₁ +  a ₂).S_n =3 /2  (2² + 6²) + 3 4 (2 + 6) = … + ….

Ответ: 60 + 96

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r₁=2, r₂= 6. Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Решение: l ² = h² + (r₂ r₁)², l ² = 3² + (6   2)²  = 9 + 16 = …, l = ….

S_n = 4  (r₁² + r₂²) + 4 l (r₁ + r₂).S_n = 4  (2² + 6²) + 2 5 (2 + 6) = 160 + 80 = ….

Ответ: 240.

Ø В)Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть S_ABCD= a  b = 12, тогда АА₁= h = 4, т.к. АА₁⊥ АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h, V = 12  4 =...

Ответ: 48 см³.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА₁⊥ АВСD, V = 12, АА₁= h = 3.

Найдём S_ABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где S_ABCD= a b, S_ABCD  3 = 12,S_ABCD= 12: 3 =... Ответ: 4 см².

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагоналипрямоугольного параллелепипеда:

d² = a² + b² + h², 16 + 4 + h² = 36, h² = …, h =...                                                                           

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h, V = 4 2 4 =... Ответ: 32 см³.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h, 3 ^. 2 ^.h = 36,

6h = 36, h =..., V = 36. Найдем d. d² = 9 + 4 + 36, d² = 49, d =... Ответ: 7 и 6 см.                                                                                                       
Пример 5. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, диагональ
D₁B = 18 составляет угол в 30^° с плоскостью боковой грани, и угол в 45^° с боковым ребром (рис.). Найти: V.

Решение: BC₁ - проекция D₁B на плоскость боковой грани BB₁С₁С,
поэтому ∠D₁BC₁ = 30^°, ∠D₁BB₁= 45^°.
Рассмотрим ΔD₁C₁B: ∠D₁C₁B = 90° (рис.). ∠В = 30^°. =>D₁C₁ = 18: 2 = … см.
Рассмотрим ΔD₁B₁B - прямоугольный: BB₁= 18 cos 45^° = 18  : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d² = a² + b² + h², 18² = 9² + (9 )² + B₁C₁²,(ΔD₁B₁B: B₁B =D₁B₁).
B₁C₁² = 18²– 9²–  (9 )² = 324 – 81– 81  2 = 81, B₁C₁ = …см. V = 9 9  9 = … см³.
Ответ: V = 729 см³.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD² = АВ² + АD²,
BD² = 3² + 4² = 9 + 16 = …, BD = …,h = 5. V = 3 4 5 = … см³.
Ответ: 60см³.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d² = a² + b² + h², ()² = 2² + 3² + h², h² = 38 – 4 9 = 25, h =...V = 2 3 5 = … см³.
Ответ: 30 см³.

Ø

С

С)Пример 1. Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,                                                                                                                             АС = ВС, ∠ACB = 90^°, BN = NA, ∠CNC₁ = 45^°, CC₁ = 6 (рис.). Найти: V.                                                                                 Решение:V = S h, S = BC²: 2, BC² = BN² + CN², BN =CN
(ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC₁CN – прямоугольный, ∠CNC₁ = 45^°,
CC₁ = CN= 6, BC² =2CN² = 2  6² = 2 36 = …, BC = 6  ,
V = (6 ²  6: 2 = 36  6 = … см³. Ответ: 216см³. Пример 2. Дано: ABCDА₁В₁С₁D₁ - прямая призма, ABCD - ромб, ∠BAD = 60^° (рис.). ВВ₁ = 2, ∠B₁DB = 45^°. Найти: V.                                                                                 Решение: S_p = AB AD sin 60^°. ΔABD – равносторонний(AB = AD, ∠BAD = 60^° ).
AB = BD = AD. ΔB₁DB –прямоугольный,
∠B₁DB = 45^°. =>ΔB₁DB – равнобедренный, ВВ₁ = ВD = 2,
V = AB AD sin 60^° BB₁= BB₁³ sin 60^°  = 2³   / 2 = …  см³.

Ответ: 4 см³.

Пример 3. Дано: ABCDFM...M₁ - правильная шестиугольная призма. AD₁ = 8 см - наибольшая диагональ.∠AD₁D = 30^°(рис.).

Найти: V.
Решение: V= S₀ · h. h = DD₁ в ΔADD₁, ∠D = 90°. ∠D₁ = 30^°,                                    

DD₁ = AD₁ · cos 30^°. DD₁ = 8   / 2 = …  , AD = AD₁: 2 = 8: 2 = … см,
OD = OC = CD = AD: 2 = 4: 2 = … см,
S₀ = 6S _ΔOCD= 6   / 4) a ² = 6   / 4)  2² = 6 см. V =  6  = 6  4 3 = … см³.

Ответ: 72 см³.

Пример 4. Дана трапеция, S(BB₁C₁C) = 8 см², S(AA₁D₁D) = 12см², BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp.
Решение: 1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ₁С₁ и AA₁D₁ есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD. 

Предыдущая1234567891011121314Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: