Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность { b_n }, заданная рекуррентно соотношениями b ₁ = b, b_n = b_n _–1 q (n = 2, 3, 4…).(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b ₁², b ₂², b ₃², …, b_n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b ₁², а знаменатель – q ².

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид b_n = b ₁ q^n– ¹.

Формула суммы первых n членов прогрессии

, или , (в случае , ).

Если геометрическая прогрессия бесконечно убывающая (), то ее сумма вычисляется по формуле .

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0,(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом, 0,(3) = 1/3.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к S_п= <1.

. . . х-1=3. х=4.

2) 1+2х+4х +…+(2х) +…=3,4-1,2х <0,5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к <0,5. .

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q|<1). .

Пример 1. Найдите сумму всех целых чисел, начиная от 30 и до 80 включительно.

Решение:

Сумма всех целых чисел от 30 и до 80 включительно представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где а₁ = 30, разность d = 1, а количество членов n = 51.

. Ответ: 2805.

Пример 2. Решите уравнение 2²∙2⁴∙2⁶∙...∙2²ⁿ=(0,125)^-10.

Решение:

2²∙2⁴∙2⁶∙...∙2²ⁿ=2^2+4+6+...+2n. .

Получили: 2^2+4+6+...+2n=2³⁰ 2+4+6+...+2n=30.

В левой части равенства сумма n членов арифметической прогрессии, где а₁ =2, а d = 2. Согласно формуле суммы членов арифметической прогрессии имеем:

n₁ = – 6 не удовлетворяет условию т.к. n отрицательным быть не может.

n₂ =5 удовлетворяет условию. Ответ: n = 5.

Пример 3. В геометрической прогрессии пятый член равен 2, восьмой равен 16. Найти сумму первых десяти членов.

Решение: Пусть (b_n) – геометрическая прогрессия. Известно, что b₅ = 2. По формуле n – го члена геометрической прогрессии b₅ = b₁ q⁴ = 2. Аналогично b₈ = b₁ q⁷ = 16. Поделив второе равенство на первое, получим q³ = 8, т.е. q = 2. Подставив q = 2 в первое равенство, найдём b₁:

.Согласно формуле получим: .

Ответ: .

Пример 4. Записать число 0,6222… обыкновенной дробью.

Решение:

Запишем число 0,6222…в виде суммы: 0,6222…= 0,6 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + …,

где 0,02 + 0,002 + 0,0002 + … - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая находится по формуле , где b₁ = 0,02; q = 0,1.

Ответ: 28/45.

2) Решить задание:

1) Найти произведение третьего и четвёртого членов арифметической прогрессии,

если первый член равен 3, а второй равен – 2.

2) Между числами – 8,8 и 2 вставьте пять чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

2) Третий член арифметической прогрессии в три раза меньше шестого, а сумма второго и

пятого равна 16. Определите первый член прогрессии

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b₁=2, b₅=162.

5) В геометрической прогрессии q=0,5, b₆=1/32, найти b₁.

6) Найдите третий член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен -2,

а седьмой член 16.

7) В геометрической прогрессии b₁+b₂+b₃=31, b₁+b₃=26. Найти b₇.

8) Какое наибольшее число последовательных нечётных чисел, начиная с 1, можно сложить,

чтобы получившаяся сумма осталась меньше 400?

9) В геометрической прогрессии b₂>b₁ в два раза, а b₆=64. Найти b₁.

10) Найдите сумму первых пяти членов последовательности, общий член которой выражается

формулой .

11) Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по одиннадцатый включительно

равна 27. Найти номер члена прогрессии равного 3.

12) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма пяти её

первых членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

13) Найдите сумму всех чётных натуральных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

14) Вычислить сумму: .

15) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 10,3; 8,5; ….

16) В арифметической прогрессии a₁₀=-23. Найти a₃+a₁₇.

17) В арифметической прогрессии a₅+a₉=-20. Найти a₇.

18) Произведение девяти первых членов геометрической прогрессии равно .

Какой член геометрической прогрессии можно найти на основании этой информации? Чему он равен?

19) Решите уравнение .

20) Найдите сумму .

21) Три различных числа a₁, a₂, a₃ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию,

а числа 2a₃-a₁, a₂+a₃-a₁, a₁ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Найти знаменатель геометрической прогрессии.

3) Решить задание:

I. Пусть – арифметическая прогрессия с разностью d и S_n – сумма n первых членов. Найти:

1. a₁₃, если a₅= 2; a₄₀= 142.

2. a₁+a₂₀, если a₃+a₁₈= 50.

3. n, если a₁= 3; a₂= 5; S_n= 360.

4. a₁ и d, если a₁₇+a₂₀= 35; a₁₆ × a₂₁= 150.

5. a1 и d, если S_n= 2 n²- 3 n.

6. Сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3.

7. Первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при делении на 5 дает в остатке 2.

II. Пусть – геометрическая прогрессия со знаменателем q и S_n – суммой первых n членов. Найти:

8. b₆, если b₅= 36, b₇= 114.

9. q, если b₁= 10, b₂+b₃= 60.

10. b₁₃, если b₁₁= 25, b₁₅= 400.

11. b₁ и q, если b₁+b₂+b₃= 62, b₁²+b₂²+b₃²= 2604.

12. S₆, если b₁=– 2, b₆=– 486.

13. n, если b₁= 9, b_n= , S_n= 25 .

14. Какому условию удовлетворяют три числа a₁, a₂, a₃, которые одновременно являются последовательными членами как геометрической, так и арифметической прогрессий?

15. Решить уравнение: .

16. По преданию, индийский шах позволил изобретателю шахматной игры самому назначить себе награду. Изобретатель просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было дано 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4. В общем случае, за каждую следующую клетку в 2 раза больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изображается число зерен, предназначенное изобретателю; найти это число.

17.Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа.

18.Решить уравнение .

19.Найти a₁ и d, если a₁₁= 6; a₁₆= 8,5.

20. Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии , у которой b₁=4 и q= ?

21.Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.

22.Доказать, что последовательность с общим членом является арифметической прогрессией.

Инструкционная карта

ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = lnx, x₀ = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х³ + 7x² 5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = е ^х, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е ^3х, x₀ = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y¢(x₀),

найдем производные и вычислим их в точке x₀

a) б) в)

г)

д) е ^ln⁷= …,е) 7cosx, 7 cos 0 = 7 1 = …,

ж) е ³^ln⁴= 3 4³ = 3 64 = …

Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = - arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = х³, x₀ = 2.

Решение: а) k =tgα = tg k =tgα = tg k =tgα = tg

k =tgα = tg

б)

Ответ: а)1, ,6,- 8, б)arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x ³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x ₀ = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f ^¢ (x ₀) · (x − x ₀) + f (x ₀). Точка x ₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x ₀) и f ^¢(x ₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x ₀) = f (2) = 2³ = …;
Теперь найдем производную: f ^¢ (x) = (x ³) ^¢ = 3 x ²;
Подставляем в производную x ₀ = 2: f ^¢ (x ₀) = f ^¢ (2) = 3 · 2² = 3 4 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12 x − 24 + 8 = 12 x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12 x − 16.
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x ₀= π /2.

Решение: f (x ₀) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = …; f ¢(x) = (2sin x + 5)¢ = 2cos x;
f ¢(x ₀) = f ¢(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной: y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y =...

Ответ: y = 7.

Пример 5. Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 9 4 = …
y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной.

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).

1. a – абсциссаточкикасания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0, D = 6² 4 1 8 = 36 32 = …,

а₁= ( 6 2): 2 = 8: 2 = …, а₂ = ( 6 2): 2 = 4: 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a³ – 3a² + 3.3. f '(x) = 3x² – 6x, f '(a) = 3a² – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a² – 6a = 9. 3a² – 6a 9 = 0,

D = ( 6)² 4 3 () = 36 108 = …, а₁= (6 12): 6 = 18: 6 = …,

а₂ = (6 12): 6 = 6: 6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл.) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …; f '(– 1) = 3 + 6 = …;

y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение: Из условия f '(a) = tg 45°, найдем a: a – 3 = 1,a = 3 + 1 =...

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 =...
3. f '(4) = 4 – 3 =...
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y = x – 7.

Пример 9. На параболе у = х² взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х², (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀.

2х₀ = 4. х₀ =...,

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x² + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x² + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x² + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t², а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p².Составим и решим систему уравнений:

;

2t = 1,5; t = 0,75;

p = – t = …,

c = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

2) Решить задание (по примерам):

1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x⁴, x₀ = 1, б) y(x) = lnx, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² - 4x, x₀ = 4,

г) y(x) = х³ + 7x² - 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = е ^х, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е ^3х, x₀ = ln 6.

2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = - arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = х³, x₀ = 4.

3. Дана функция y = x ³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x ₀ = 1.

4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x ₀= π /2.

5. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 1).

6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).

7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 5x + 1, проходящей
под углом 45° к прямой y = 0.

9. На параболе у=х² взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
функции y = x² + 2bx + c?

3) Решить задание:

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x² – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x² – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)?

3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x³ и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

4. На кривой y = x² – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
прямой y – 3x + 1 = 0.

5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x³ – 4x² + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x² – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx³ – 2x² – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2, проходит через точку M(1; 8)?

8. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х³– 2х + 1?

10. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀= – 1. Найдите абсциссу точки, в которой

другая касательная касается графика данной функции.

12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.

13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.

14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax² + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
в точке М (1; 5).

15. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5.

16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции .

17. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

18. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

19. Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой .

20. Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .

Инструкционная карта

ПР № 30 «Вычисление производных элементарных функций».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите производные функций: а) y = e^x – x ⁷,б) у=3е^х+ cos 2 x, в) у = е^х – sinx,

г) у= – ln 2 x,д) , е) , ж)

Решение: а) б) в) = е^х – cosx; г) ,

д) е) ж)

Ответ: а) б) в) = е^х – cosx; г) ,д)

е) ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=е^х sinx + x ² в точке ,

в) у = cos 2 x + 4 x в точке , г) вточке .

Решение: а)

б)

в)

г) Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение: а) у ¢ (x) = (x ² + sin x)¢ = (x ²)¢ + (sin x)¢ = … x + cosx;
б) у ¢ (x) = (x ³ · cos x)¢ = (x ³)¢ · cos x + x ³ · (cos x)¢ = … x ² · cos x + x ³· (− sin x) =

= x ² · (3cos x − x · sin x),

в) у ¢ (x) = ((x ² + 7 x − 7) · e ^x )¢ = (x ² + 7 x − 7)¢ · e ^x + (x ² + 7 x − 7) · (e ^x )¢ = (2 x + 7) · e ^x +

+(x ² + 7 x − 7) · e ^x = e ^x · (2 x + 7 + x ² + 7 x −7) = (x ² + … x) · e ^x = x (x + …) · e ^x .

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ: а) у ¢ (x) = 2 x + cosx; б) у ¢ (x) = x ² · (3cos x − x · sin x), в) у ¢ (x) = x (x + 9) · e ^x ,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций: f (x) = e ^{2 x + 3}; g (x) = sin (x ² + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f (x) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f (x) = e ^x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t, f (x) = f (t) = e ^t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ¢ (x) = f ¢ (t) · t ¢ = (e ^t )¢ · t ¢ = e ^t · t ¢. Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

f ¢ (x) = e ^t · t ¢ = e ^{2 x + 3} · (2 x + 3)¢ = e ^{2 x + 3} · 2 = … · e ² ^x ^{+ 3}

Теперь разберемся с функцией g (x). Очевидно, надо заменить x ² + ln x = t. Имеем:

g ¢ (x) = g ¢ (t) · t ¢ = (sin t)¢ · t ¢ = cos t · t ¢. Обратная замена: t = x ² + ln x. Тогда:

g ¢ (x) = cos (x ² + ln x) · (x ² + ln x)¢ = cos (x ² + ln x) · (… x + 1/ x).

Ответ: f ^¢ (x) = 2 · e ^{2 x + 3}; g ¢ (x) = (2 x + 1/ x) · cos (x ² + ln x).
Пример 5. Найти производную функции:

а) б)
Решение: а)

б)
Ответ: а) б)

2) Решить задание (по примерам):

1. Найдите производные функций: а) y = 2e^x–3x⁷,б) у=5е^х+cos3x, в) у = е^х – cosx,

г) у= –ln4х, д) , е) , ж)

2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=2е^хsinx +3 x² в точке ,

в) у = cos2x + 8x в точке ,г) в точке .

3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

4. Найти производные функций: f(x) = e ^{4x + 3}; g(x) = sin (2x ² + ln x).

5. Найти производные функций:а) б)

3) Решить задание:

1. Найдите производную функции y = e ^- ^x – 2 x ⁷, у= 4х³+ е ^-х.

2. Найдите производную функции у = x ² + sinx в точке х₀ = p.
Найдите производную функции у = sin х e^x – 9 x ³ в точке x_o =0.

3. Найдите значение производной функции у = 5 cosx – 7 x в точке х_о= 0.

4. Вычислите значение производной функции y = ln (2 x +11)+ 5 x вточке х_о= – 5.

5. Найдите производную функции: а) б)

Инструкционная карта

ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Исследовать и построить график функции:

Решение:

1. D (f) = R, т.к. f -многочлен.

2. Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непериодическая.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

5. Найдем производную функции:

6. Найдем критические точки: , т.е. ,х= … или х=...

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке. − + −

6(− 1)− 3(− 1)²= − 6− 3=− 9<0

0 2 х

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим у_min=

х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим у_max= .

7.Составляем таблицу для внесения всех данных

x		0	(0;2)	2
	−	0	+	2	−
f (x)		0		4
		min		max

8. Строим график функции.

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x⁴ − 4x³ − 9 = 0?

Решение: р (x) = x⁴ − 4x³ − 9, D(р) = (− ; ).

р ' (x) = 4 x ³− 12x ² = 4 x ² (х− 3) = 0, x₁ = 0; 1 петля; x₂ = …, р ' (4) = 4 16 1> 0

р(x) убывает на интервале (– ; 3];р (x) возрастает на [3; + ).

x = 3 – min, р _min= р (3) = 3⁴ − 4 3³ − 9 = 81− 4 27 – 9 =81 − 117= − …< 0, в точке x = 0 график имеет точки перегиба (то есть меняет выпуклость), f(0) = 0 − 0 − 9 =...

Строим эскиз графика

График пересекает ось 0Х в двух точках x₁и x₂, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня.

Ответ: два.

Пример 3. Исследовать функцию f(x)= 3x⁵ − 5х³+ 2 и построим ее график.

Решение: 1.D (f) = R, так как f (x) - многочлен.

2.Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (− x) = 3(− x)⁵ − 5(− x)³+ 2 = − 3x ⁵+ 5х³+

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314Следующая

Воспользуйтесь поиском по сайту: