Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность { bn }, заданная рекуррентно соотношениями b 1 = b, bn = bn –1 q (n = 2, 3, 4…).(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0). Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3. Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1. Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1. Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1. Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. b 12, b 22, b 32, …, bn 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 12, а знаменатель – q 2. Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид bn = b 1 qn– 1. Формула суммы первых n членов прогрессии Если геометрическая прогрессия бесконечно убывающая ( Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0,(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде: Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна: Таким образом, 0,(3) = 1/3.
1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к Sп=
2) 1+2х+4х Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q|<1).
Пример 1. Найдите сумму всех целых чисел, начиная от 30 и до 80 включительно. Решение: Сумма всех целых чисел от 30 и до 80 включительно представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где а1 = 30, разность d = 1, а количество членов n = 51.
Пример 2. Решите уравнение 22∙24∙26∙...∙22n=(0,125)-10. Решение: 22∙24∙26∙...∙22n=22+4+6+...+2n. Получили: 22+4+6+...+2n=230 В левой части равенства сумма n членов арифметической прогрессии, где а1 =2, а d = 2. Согласно формуле суммы членов арифметической прогрессии имеем:
n1 = – 6 не удовлетворяет условию т.к. n отрицательным быть не может. n2 =5 удовлетворяет условию. Ответ: n = 5. Пример 3. В геометрической прогрессии пятый член равен 2, восьмой равен 16. Найти сумму первых десяти членов. Решение: Пусть (bn) – геометрическая прогрессия. Известно, что b5 = 2. По формуле n – го члена геометрической прогрессии b5 = b1 q4 = 2. Аналогично b8 = b1 q7 = 16. Поделив второе равенство на первое, получим q3 = 8, т.е. q = 2. Подставив q = 2 в первое равенство, найдём b1:
Ответ: Пример 4. Записать число 0,6222… обыкновенной дробью. Решение: Запишем число 0,6222…в виде суммы: 0,6222…= 0,6 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + …, где 0,02 + 0,002 + 0,0002 + … - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая находится по формуле
Ответ: 28/45. 2) Решить задание: 1) Найти произведение третьего и четвёртого членов арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а второй равен – 2. 2) Между числами – 8,8 и 2 вставьте пять чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. 2) Третий член арифметической прогрессии в три раза меньше шестого, а сумма второго и
пятого равна 16. Определите первый член прогрессии 4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b1=2, b5=162. 5) В геометрической прогрессии q=0,5, b6=1/32, найти b1. 6) Найдите третий член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен -2, а седьмой член 16. 7) В геометрической прогрессии b1+b2+b3=31, b1+b3=26. Найти b7. 8) Какое наибольшее число последовательных нечётных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма осталась меньше 400? 9) В геометрической прогрессии b2>b1 в два раза, а b6 =64. Найти b1. 10) Найдите сумму первых пяти членов последовательности, общий член которой выражается формулой 11) Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по одиннадцатый включительно равна 27. Найти номер члена прогрессии равного 3. 12) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма пяти её первых членов равна 31. Найдите первый член прогрессии. 13) Найдите сумму всех чётных натуральных трёхзначных чисел, делящихся на 3. 14) Вычислить сумму: 15) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 10,3; 8,5; …. 16) В арифметической прогрессии a10=-23. Найти a3+a17. 17) В арифметической прогрессии a5+a9=-20. Найти a7. 18) Произведение девяти первых членов геометрической прогрессии равно Какой член геометрической прогрессии можно найти на основании этой информации? Чему он равен? 19) Решите уравнение 20) Найдите сумму 21) Три различных числа a1, a2, a3 в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а числа 2a3-a1, a2+a3-a1, a1 в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 3) Решить задание: I. Пусть 1. a13, если a5= 2; a40= 142. 2. a1+a20, если a3+a18= 50. 3. n, если a1= 3; a2= 5; Sn= 360. 4. a1 и d, если a17+a20= 35; a16 × a21= 150. 5. a1 и d, если Sn= 2 n2- 3 n. 6. Сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3. 7. Первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при делении на 5 дает в остатке 2. II. Пусть 8. b6, если b5= 36, b7= 114. 9. q, если b1= 10, b2+b3= 60. 10. b13, если b11= 25, b15= 400. 11. b1 и q, если b1+b2+b3= 62, b12+b22+b32= 2604. 12. S6, если b1=– 2, b6=– 486. 13. n, если b1= 9, bn= 14. Какому условию удовлетворяют три числа a1, a2, a3, которые одновременно являются последовательными членами как геометрической, так и арифметической прогрессий?
15. Решить уравнение: 16. По преданию, индийский шах позволил изобретателю шахматной игры самому назначить себе награду. Изобретатель просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было дано 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4. В общем случае, за каждую следующую клетку в 2 раза больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изображается число зерен, предназначенное изобретателю; найти это число. 17.Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа. 18.Решить уравнение 19.Найти a1 и d, если a11= 6; a16= 8,5. 20. Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии 21.Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7. 22.Доказать, что последовательность
Инструкционная карта ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции». Задание: 1) Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х₀: а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = lnx, x₀ = 1, в) y(x) = 3x² г) y(x) = х3 + 7x² Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y¢(x0), найдем производные и вычислим их в точке x0 a) г) д) ж) Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192. Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если б) Найти α,если y(x) = Решение: а) k =tgα = tg k =tgα = tg б) Ответ: а)1, Пример 3. Дана функция y = x 3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 23 = …; Ответ: y = 12 x − 16. Решение: f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = …; f ¢(x) = (2sin x + 5)¢ = 2cos x;
Ответ: y = 7. Пример 5. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как 1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 Ответ: y = 5x – 17. Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
1. a – абсциссаточкикасания. Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), а1= ( Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Ответ: y = 4x + 18 или y = 6. Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.
D = ( а2 = (6 Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1сл.) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …; f '(– 1) = 3 + 6 = …; y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной; 2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …; Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.
Решение: Из условия f '(a) = tg 45°, 1. a = 4 – абсцисса точки касания. Ответ: y = x – 7. Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?
Решение: у = х2, (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой 4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.
Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой. Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x2 + bx + c? Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.Составим и решим систему уравнений:
2t = 1,5; t = 0,75; p = – t = …, c = b = 1 – 2t = 1 – 2 Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5. 2) Решить задание (по примерам): 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х₀: а) y(x) = x4, x₀ = 1, б) y(x) = lnx, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² - 4x, x₀ = 4, г) y(x) = х3 + 7x² - 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = е х, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е 3х, x₀ = ln 6. 2. а) Найти угловой коэффициент k, если б) Найти α,если y(x) = 3. Дана функция y = x 3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 1. 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x 0 = π /2. 5. Составьте уравнение касательной к графику функции 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9). 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 24x + 1. 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей 9. На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая. 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику 3) Решить задание: 1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. 2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? 3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). 4. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна 5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. 6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. 7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? 8. Найти угол между касательными к графику функции 9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1? 10. Найдите уравнение касательной к графику функции 11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = – 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна. 13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна. 14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2 15. К графику функции 16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции 17. Составить уравнение касательной к графику функции 18. Составить уравнение касательной к графику функции 19. Составить уравнение касательной к графику функции 20. Составить уравнение касательной к графику функции
Инструкционная карта ПР № 30 «Вычисление производных элементарных функций». Задание: 1) Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex – x 7 ,б) у=3ех+ cos 2 x, в) у = ех – sinx, г) у= Решение: а) д) Ответ: а) е) Пример 2. Вычислите значение производной функции: а) у= в) у = cos 2 x + 4 x в точке Решение: а) б) в) г) Пример 3. Найдите производные функций: а) в) = x 2 · (3cos x − x · sin x), в) у ¢ (x) = ((x 2 + 7 x − 7) · e x )¢ = (x 2 + 7 x − 7)¢ · e x + (x 2 + 7 x − 7) · (e x )¢ = (2 x + 7) · e x + +(x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = (x 2 + … x) · e x = x (x + …) · e x . г) По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
г) Пример 4. Найти производные функций: f (x) = e 2 x + 3; g (x) = sin (x 2 + ln x). f ¢ (x) = f ¢ (t) · t ¢ = (e t )¢ · t ¢ = e t · t ¢. Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим: f ¢ (x) = e t · t ¢ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)¢ = e 2 x + 3 · 2 = … · e 2 x + 3 Теперь разберемся с функцией g (x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем: g ¢ (x) = g ¢ (t) · t ¢ = (sin t)¢ · t ¢ = cos t · t ¢. Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда: g ¢ (x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x)¢ = cos (x 2 + ln x) · (… x + 1/ x). Ответ: f ¢ (x) = 2 · e 2 x + 3; g ¢ (x) = (2 x + 1/ x) · cos (x 2 + ln x). а) б) 2) Решить задание (по примерам): 1. Найдите производные функций: а) y = 2ex–3x7 ,б) у=5ех+cos3x, в) у = ех – cosx, г) у= 2. Вычислите значение производной функции: а) у= в) у = cos2x + 8x в точке 3. Найдите производные функций: а) в) 4. Найти производные функций: f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x). 5. Найти производные функций:а) 3) Решить задание: 1. Найдите производную функции y = e - x – 2 x 7, у= 4х3+ е -х. 2. Найдите производную функции у = x 2 + sinx в точке х0 = p. 3. Найдите значение производной функции у = 5 cosx – 7 x в точке хо = 0. 4. Вычислите значение производной функции y = ln (2 x +11)+ 5 x вточке хо= – 5. 5. Найдите производную функции: а) Инструкционная карта ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной». 1) Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. Исследовать и построить график функции: Решение: 1. D (f) = R, т.к. f -многочлен. 2. Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. 3. Функция непериодическая. 4. Находим точки пересечения графика с осями координат: а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0) б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0) 5. Найдем производную функции: 6. Найдем критические точки: Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке. − + −
0 2 х Значит, в промежутках х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс. Вычислим уmin= х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус. Вычислим уmax= 7.Составляем таблицу для внесения всех данных
![]() Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x4 − 4x3 − 9 = 0? Решение: р (x) = x4 − 4x3 − 9, D(р) = (− р ' (x) = 4 x 3− 12x 2 = 4 x 2
р(x) убывает на интервале (– x = 3 – min, р min= р (3) = 34 − 4 Строим эскиз графика График пересекает ось 0Х в двух точках x1 и x2, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня. Ответ: два. Пример 3. Исследовать функцию f(x)= 3x5 − 5х3 + 2 и построим ее график. Решение: 1.D (f) = R, так как f (x) - многочлен. 2.Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как f (− x) = 3(− x)5 − 5(− x)3 + 2 = − 3x 5 + 5х3 +
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|