Т Е С Т по теме «Перпендикулярность плоскостей».1 часть. 7 глава

2. Решите уравнения:

3. Решите уравнения:

4. Решите уравнения:

5. Решите уравнения:

6. Решите уравнения:

7. Решите уравнения:

8. Решите уравнения:

9. Решите уравнения:

10. Решите уравнения:

11. Решите уравнения:

12. Решите уравнения:

13. Решите неравенства: а) ,б) , в) ^.

14. Решите неравенства:

а) ;б) ;в) ;

15. Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству .

16. Решите неравенство: .

Решите неравенство:

Решите неравенства:

а) б) в) .

19. Решите неравенства:

а)

20. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.

 

Инструкционная карта

ПР № 11 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:

,

Пример 1. Вычислить:

а)arccos (cos  ), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin  ),

г) sin(arcsin 0,6),д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8).

Решение:

а)arccos (cos  ) = , б) cos(arccos 0,4) = …,

в) arcsin (sin  ) =…, г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,

д) ,

е) .

Ответ:

а)arccos (cos  ) = , б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin  ) = ,

г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д) , е) .

Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5).

Решение:

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

.

 

Тогда получаем, что:

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислить arcsin (sin 12).

Решение:

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку Заметим, что поэтому .Поскольку , угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: arcsin (sin12) = 12 - 4π.

Пример 4. Вычислить

Решение:

Введем два угла:  и . Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны.

Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых,

 .

Во-вторых,

.

Следовательно,

Ответ: .

Пример 5. Вы­чис­лить

Решение:

Ти­пич­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае – это сразу же на­пи­сатьв ответ 4. Как мы ука­зы­ва­ли в преды­ду­щем при­ме­ре, для ис­поль­зо­ва­ния ос­нов­ных свойств арк­функ­ций необ­хо­ди­мо про­ве­рить со­от­вет­ству­ю­щие огра­ни­че­ния на их ар­гу­мент. Мы имеем дело со свой­ством:

при .Но 4> . 

Глав­ное на этом этапе ре­ше­ния не по­ду­мать, что ука­зан­ное вы­ра­же­ние не имеет смыс­ла и его нель­зя вы­чис­лить. Ведь чет­вер­ку, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ар­гу­мен­том тан­ген­са, мы можем умень­шить при по­мо­щи вы­чи­та­ния пе­ри­о­да тан­ген­са, и это не по­вли­я­ет на зна­че­ние вы­ра­же­ния. Про­де­лав такие дей­ствия, у нас по­явит­ся шанс умень­шить ар­гу­мент так, чтобы он вошел в ука­зан­ный диа­па­зон.

, т.к. < 1 по­сколь­ку > 3, сле­до­ва­тель­но, , т.к. .

Ответ: .

Пример 6. Вы­чис­лить sin (2 arcsin 0,6).

Решение:

Ответ: 0,96.

Пример 7. Вы­чис­литьarccosx – arcsinx = arccos  .

Решение:

Учитывая, что arccos  =   и arcsinx + arccosx = , заменим в уравнении arcsinx выражением – arccosx, получим уравнение

arccos x – ( – arccos x)= ,

2arccos x – = , 2arccos x = + = .

arccos x = , x = cos , x= 1/2 = …

Ответ: 0,5.

Пример 8. Решите уравнения: 

а) 6arcsin (x² – 6x+8,5) = π;

б) 3arcsin²x – 10arcsinx + 3 = 0. 

Решение:

а)6arcsin (x² – 6x+8,5) = π, arcsin(x² – 6x+8,5) = ,

x² – 6x+8,5 = 0,5; x² – 6x+8 = 0,

D = 36 – 4 1 8 =….

, .

б) 3arcsin²x – 10arcsinx + 3 = 0. arcsinx = у,

3у² – 10у + 3 = 0, D = 100 – 4 3 3 = 64.

 - не уд. усл.

.

arcsinx = 0,3, х= sin 0,3

Ответ: а) x₁= 4,x₂ = 2.б) х= sin 0,3

Пример 9. Вы­чис­лить: а) arcsin (-2), б) arccos

Решение:

а) Ти­пич­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае – это на­чать вы­но­сить минус и что-то упро­щать. Пер­вое, что необ­хо­ди­мо за­ме­тить, это то, что ар­гу­мент арк­си­ну­са не вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния .

Сле­до­ва­тель­но, дан­ная за­пись не имеет зна­че­ния, и вы­чис­лить арк­си­нус нель­зя.

б) Стан­дарт­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае за­клю­ча­ет­ся в том, что пу­та­ют ме­ста­ми зна­че­ния ар­гу­мен­та и функ­ции и дают ответ 1/2. Это невер­но! Ко­неч­но, воз­ни­ка­ет мысль, что в таб­ли­це ко­си­ну­су со­от­вет­ству­ет зна­че­ние 1/2, но в таком слу­чае пе­ре­пу­та­но то, что вы­чис­ля­ют­ся арк­функ­ции не от углов, а от зна­че­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций. Т.е. arccos 1/2 = , а неarccos = 1/2.

Кроме того, по­сколь­ку мы вы­яс­ни­ли, что яв­ля­ет­ся имен­но ар­гу­мен­том арк­ко­си­ну­са,

то необ­хо­ди­мо про­ве­рить, чтобы он вхо­дил в об­ласть опре­де­ле­ния. Для этого вспом­ним, что >1,т.е. , а зна­чит арк­ко­си­нус не имеет смыс­ла и вы­чис­лить его нель­зя.

Кста­ти, на­при­мер, вы­ра­же­ниеarccos имеет смысл, т.к. , но по­сколь­ку зна­че­ние ко­си­ну­са, рав­ное не яв­ля­ет­ся таб­лич­ным, то и вы­чис­лить арк­ко­си­нус с по­мо­щью таб­ли­цы нель­зя.

Ответ: Вы­ра­же­ния не имеют смыс­ла.

Пример 10. Вы­чис­лить arcсtg х, если из­вест­но, чтоarctg х = .

Решение:

Вспом­ним, по какой фор­му­ле свя­за­ны между собой ука­зан­ные функ­ции:

И вы­ра­зим из нее то, что нам нужно: .

Ответ: .

2) Решить задание (по примерам):

1. Вычислить:

а)arccos (cos  ), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin  ),

г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6).

2. Вычислить cos(4arctg 3).

3. Вычислить arcsin (sin 6).

4. Вычислить

5. Вы­чис­лить

6. Вы­чис­лить sin (2 arcsin 0,8).

7. Вы­чис­лить arccos x – arcsin x = arccos  .

8. Решите уравнения: 

а) 6arcsin (x² – 7x+12,5) = π;

б) 3arcsin²x – 11arcsinx + 6 = 0. 

9. Вы­чис­лить: а) arcsin( 4), б) arccos

10. Вы­чис­лить arcсtg х, если из­вест­но, чтоarctg х = .

 

Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Вычислите: . Решение: . 

Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ:  0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ: 3.

Пример 4. Вычислите: а)  б)

в)  г) д)

е)  ж)

з)

Ответ: а) 6, б) 8, в) 3,5; г) 40, д) 2, е) 10, ж) 1,25; з) 250.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ:

Пример 6. Решите уравнения:

Решение: Ответ: а)х = 4, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .

Ответ: а) б) .

2) Решить задание (по примерам):

1. Вычислите: .   

2. Вычислите: .

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите:

а)  б)    в)  г) д)

е)  ж) з)

5. Выполнить действия:

6. Решите уравнения:

7. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .

3) Решить задание:

1. Вычислите: а) ,б) ,в) ,г)  ,д) ,

е) ,ж)   , з) .

2. Решите уравнения: а) , б)  , в) , г)

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: а)  б)  в)

5. а) вынести множитель из-под знака корня:

б) внесите множитель под знак корня:

6. Вычислите а) ,б) ,в) г) ,д) .

7. Упростите выражение

 

8. Найдите значения выражения   при у = 16.

9. Найдите значение выражения:

10. Сократите дробь:   .

11. Найдите значения выражения  при а = 4, b = 5.

12. Найдите значение выражения      при р = 49.

13. Упростите выражение .

14. Упростите выражение .

15. Вычислите

16. Упростите выражение .

17. Найдите значение выражения:

18. Найдите значение выражения: .

19. Упростите выражение .

20. Упростите выражение

Инструкционная карта

ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

Задание:

1) Перепишите:

Определение. Степенью числа с рациональным показателем , где m-целое число, а n-натуральное (), называется число . Итак, по определению .

Предыдущая1234567891011121314Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: